华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2．已知 $\displaystyle g(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，求 $g(\alpha)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立函数 g(α) 的积分表达式并求导
假设 $g(\alpha) = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos(2\alpha t) \, dt$，已知 $g(0) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。对 $\alpha$ 求导，利用积分号下求导（一致收敛性保证）：
$$g'(\alpha) = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cdot (-2t \sin(2\alpha t)) \, dt = -2 \int_0^{+\infty} t e^{-t^2} \sin(2\alpha t) \, dt$$
公式：$g'(\alpha) = -2 \int_0^{+\infty} t e^{-t^2} \sin(2\alpha t) \, dt$
提示：注意求导时对参数 α 进行，被积函数中的 cos 项求导得 -2t sin(2αt)，不要遗漏系数 -2t。
步骤 2/4
目标：对积分进行分部积分
令 $u = \sin(2\alpha t)$，$dv = t e^{-t^2} dt$，则 $du = 2\alpha \cos(2\alpha t) dt$，$v = -\frac{1}{2} e^{-t^2}$。分部积分得：
$$\int_0^{+\infty} t e^{-t^2} \sin(2\alpha t) \, dt = \left[ -\frac{1}{2} e^{-t^2} \sin(2\alpha t) \right]_0^{+\infty} + \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cdot 2\alpha \cos(2\alpha t) \, dt$$
边界项在 $t=0$ 和 $t\to+\infty$ 时均为 0，因此：
$$= \alpha \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos(2\alpha t) \, dt = \alpha \, g(\alpha)$$
公式：$\int_0^{+\infty} t e^{-t^2} \sin(2\alpha t) \, dt = \alpha \, g(\alpha)$
提示：分部积分时注意边界项的计算：t=0 时 sin(0)=0，t→∞ 时 e^{-t^2} 衰减更快，乘积趋于 0。
步骤 3/4
目标：建立并求解微分方程
将分部积分结果代入 $g'(\alpha)$ 表达式：
$$g'(\alpha) = -2 \cdot (\alpha \, g(\alpha)) = -2\alpha \, g(\alpha)$$
得到一阶线性微分方程：
$$\frac{dg}{g} = -2\alpha \, d\alpha$$
两边积分：
$$\ln g(\alpha) = -\alpha^2 + C$$
即 $g(\alpha) = C e^{-\alpha^2}$。
公式：$g'(\alpha) = -2\alpha \, g(\alpha)$，通解 $g(\alpha) = C e^{-\alpha^2}$
提示：微分方程求解时注意分离变量，积分常数 C 由初始条件确定。
步骤 4/4
目标：利用初始条件确定常数并写出最终结果
由已知 $g(0) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，代入通解：
$$g(0) = C e^{0} = C = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
因此：
$$g(\alpha) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\alpha^2}$$
公式：$g(\alpha) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\alpha^2}$
提示：初始条件 $g(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 来自高斯积分 $\int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，这是常见结论，需熟记。
步骤 5/5
目标：写出最终表达式
将常数代回通解，得 $g(\alpha) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\alpha^2/4}$。
公式：$g(\alpha) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\alpha^2/4}$
提示：最终结果应化简，注意指数部分符号。
步骤 6/6
目标：利用初始条件确定常数
已知 $g(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$，代入 $g(\alpha)=C_1 e^{-\alpha^2}$ 得 $C_1 = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。
因此 $g(\alpha)=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\alpha^2}$。
公式：g(\alpha)=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\alpha^2}
提示：检查初始条件是否与题目一致。
步骤 7/7
目标：写出最终表达式
将常数 $C$ 代回通解，得到 $g(\alpha)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-\alpha^2/4}$。
公式：$g(\alpha)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-\alpha^2/4}$
提示：最终结果简洁，注意指数部分为 $-\alpha^2/4$，不要漏掉分母4。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。