华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
1．$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设结论不成立，构造反例序列
假设 $\lim_{x\to +\infty} f(x) \neq 0$，则存在 $\varepsilon_0 > 0$ 和趋于无穷的序列 $\{x_n\}$，使得 $|f(x_n)| \ge \varepsilon_0$。不妨设 $f(x_n) \ge \varepsilon_0$（若为负，考虑 $-f$ 同理）。
公式：|f(x_n)| \ge \varepsilon_0 > 0
提示：注意反证法的起点，需要明确存在一个正的下界。
步骤 2/6
目标：利用一致连续性得到局部正性
由 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，对 $\varepsilon_0/2 > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x,y \in [a,+\infty)$，当 $|x-y| < \delta$ 时，有 $|f(x)-f(y)| < \varepsilon_0/2$。特别地，对每个 $x_n$，当 $t \in [x_n, x_n+\delta]$ 时，$|f(t)-f(x_n)| < \varepsilon_0/2$，从而 $f(t) > f(x_n) - \varepsilon_0/2 \ge \varepsilon_0 - \varepsilon_0/2 = \varepsilon_0/2 > 0$。
公式：f(t) \ge \frac{\varepsilon_0}{2}, \quad \forall t \in [x_n, x_n+\delta]
提示：一致连续性保证了局部函数值不会剧烈变化，从而保持正号。
步骤 3/6
目标：估计小区间上的积分下界
在区间 $[x_n, x_n+\delta]$ 上，$f(t) \ge \varepsilon_0/2$，因此积分下界为 $\int_{x_n}^{x_n+\delta} f(t)\,dt \ge \frac{\varepsilon_0}{2} \cdot \delta$。
公式：\int_{x_n}^{x_n+\delta} f(t)\,dt \ge \frac{\varepsilon_0}{2} \delta
提示：注意这里利用了函数恒正，直接得到积分下界。
步骤 4/6
目标：选取子列使区间不重叠
由于 $x_n \to +\infty$，我们可以选取子列（仍记为 $\{x_n\}$）使得 $x_{n+1} > x_n + \delta$，从而区间 $[x_n, x_n+\delta]$ 互不相交。
公式：x_{n+1} > x_n + \delta
提示：这一步是为了避免积分区间重叠，从而累加时不会重复计算。
步骤 5/6
目标：导出积分发散矛盾
由互不相交性，对任意 $N$，有 $\int_a^{x_N+\delta} f(x)\,dx \ge \sum_{n=1}^N \frac{\varepsilon_0}{2}\delta = N \cdot \frac{\varepsilon_0}{2}\delta$。令 $N \to \infty$，右端趋于 $+\infty$，这与 $\int_a^{+\infty} f(x)\,dx$ 收敛矛盾。
公式：\int_a^{+\infty} f(x)\,dx \ge \lim_{N\to\infty} N \cdot \frac{\varepsilon_0}{2}\delta = +\infty
提示：条件收敛的积分不能有正的下界无限累加，否则必然发散。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此假设不成立，必有 $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$。
公式：\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0
提示：结论成立，注意一致连续性是关键条件。
步骤 7/7
目标：得出结论
反证法假设不成立，因此必有 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$
提示：该结论是分析学中的经典结果：一致连续且积分收敛的函数在无穷远处极限为0。
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