华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2．$f(x)$ 在 $(0, a)$ 上非一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。反之，要证明非一致连续，就是存在某个 $\varepsilon_0>0$，使得对任意 $\delta>0$，都能找到两点 $x_1, x_2 \in I$，满足 $|x_1 - x_2| < \delta$ 但 $|f(x_1) - f(x_2)| \geq \varepsilon_0$。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in I, |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意区分一致连续与逐点连续：一致连续的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$ 的位置。
步骤 2/5
目标：选取具体的函数和 $\varepsilon_0$
以经典反例 $f(x)=\frac{1}{x}$ 为例，它在 $(0,a)$（$a>0$）上非一致连续。取 $\varepsilon_0 = 1$。
公式：$f(x)=\frac{1}{x}$，$\varepsilon_0=1$
提示：选择 $\varepsilon_0=1$ 是为了计算方便，实际任意正数均可，只要保证后续构造的差值能超过它。
步骤 3/5
目标：构造两点，使其距离任意小但函数值差足够大
对任意给定的 $\delta>0$，取 $t = \min\left(\frac{\delta}{2}, \frac{a}{2}\right)$，令 $x_1 = t$，$x_2 = \frac{t}{2}$。则 $x_1, x_2 \in (0,a)$，且 $|x_1 - x_2| = t - \frac{t}{2} = \frac{t}{2} < \delta$。
公式：$x_1 = t$, $x_2 = \frac{t}{2}$, $|x_1 - x_2| = \frac{t}{2} < \delta$
提示：注意 $t$ 的选取要同时保证两点在区间内且距离小于 $\delta$，$t$ 越小，距离越小，但函数值差反而越大。
步骤 4/5
目标：计算函数值差并验证
计算 $|f(x_1) - f(x_2)| = \left|\frac{1}{t} - \frac{2}{t}\right| = \frac{1}{t}$。由于 $t \leq \frac{\delta}{2}$，所以 $\frac{1}{t} \geq \frac{2}{\delta} \geq 1$（当 $\delta \leq 2$ 时显然成立；若 $\delta > 2$，则 $t$ 取 $\frac{a}{2}$ 仍保证 $\frac{1}{t} \geq \frac{2}{a}$，但 $a$ 固定，只要 $a$ 足够小？实际上更严谨的做法是：因为 $t \leq \frac{\delta}{2}$ 且 $t>0$，所以 $\frac{1}{t} \geq \frac{2}{\delta}$，而 $\frac{2}{\delta}$ 可能小于1，此时需调整构造。标准做法是取 $t = \min\left(\frac{\delta}{2}, \frac{1}{2}\right)$，则 $\frac{1}{t} \geq 2 > 1$。这里为简化，直接取 $t = \min\left(\frac{\delta}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 即可保证 $\frac{1}{t} \geq 2 > 1$。
公式：$|f(x_1)-f(x_2)| = \frac{1}{t} \geq 1$
提示：构造时需确保 $\frac{1}{t} \geq \varepsilon_0$，因此 $t$ 的上限应同时受 $\delta$ 和 $\varepsilon_0$ 控制，这里取 $t \leq \min(\delta/2, 1/\varepsilon_0)$。
步骤 5/5
目标：得出结论
存在 $\varepsilon_0=1$，对任意 $\delta>0$，都能找到 $x_1=t$，$x_2=t/2 \in (0,a)$，满足 $|x_1-x_2|<\delta$ 但 $|f(x_1)-f(x_2)| \geq 1$，因此 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,a)$ 上非一致连续。
公式：非一致连续定义成立
提示：证明非一致连续的关键是找到一个固定的 $\varepsilon_0$，然后对每个 $\delta$ 构造一对点，使得距离小于 $\delta$ 但函数值差至少为 $\varepsilon_0$。
步骤 6/6
目标：得出结论
由定义，$f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, a)$ 上非一致连续。
提示：证明非一致连续的关键是找到一组点列，使得距离趋于0但函数值差不趋于0。
步骤 7/8
目标：得出结论
由上述构造，对任意 $\delta > 0$，我们找到了 $x_1, x_2 \in (0,1)$ 满足 $|x_1 - x_2| < \delta$ 但 $|f(x_1) - f(x_2)| \geq 1$。根据非一致连续的定义，$f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上非一致连续。
提示：注意区间是开区间 $(0,1)$，端点 $0$ 不在定义域内，但可以无限接近。
步骤 8/8
目标：推广到一般情况
对于一般的区间 $(0,a)$，若 $f(x)$ 在 $0$ 附近无界或振荡，则可能非一致连续。例如 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,a)$ 上非一致连续，证明类似，只需将 $n$ 取为 $\frac{2}{\delta}$ 的整数部分等。
提示：注意区间长度 $a$ 不影响证明，因为反例集中在 $0$ 附近。
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