华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
三．（15 分）若函数
$$
f(x)=\frac{x+3}{x} \cos \left(\frac{1}{x}\right), a>0
$$
为常数，证明：
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题目并补全证明目标
题目给出函数 $f(x)=\frac{x+3}{x}\cos\left(\frac{1}{x}\right)$，其中 $a>0$ 为常数。由于原题在“证明：”后缺失，根据常见题型推测，证明目标为：函数 $f(x)$ 在区间 $(0,a]$ 上不一致连续。
公式：$f(x)=\left(1+\frac{3}{x}\right)\cos\left(\frac{1}{x}\right)$
提示：注意 $x>0$ 时函数有定义，但 $x\to 0^+$ 时函数振荡且无界。
步骤 2/6
目标：回顾一致连续的定义及反证思路
函数在区间上一致连续的定义：$\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0$，使得对任意 $x,y$ 满足 $|x-y|<\delta$，都有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。要证明不一致连续，只需找到两个点列 $x_n,y_n\in(0,a]$，使得 $|x_n-y_n|\to 0$ 但 $|f(x_n)-f(y_n)|\not\to 0$。
公式：不一致连续的否定形式：$\exists \varepsilon_0>0$，对任意 $\delta>0$，存在 $x,y$ 满足 $|x-y|<\delta$ 但 $|f(x)-f(y)|\geq\varepsilon_0$。
提示：常用构造振荡点列的方法，利用 $\cos(1/x)$ 的周期性。
步骤 3/6
目标：构造两个点列
取 $x_n = \frac{1}{2n\pi}$，$y_n = \frac{1}{2n\pi + \pi/2}$，其中 $n$ 为正整数且足够大，使得 $x_n,y_n\in(0,a]$。
公式：$x_n = \frac{1}{2n\pi},\quad y_n = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$
提示：确保 $n$ 足够大使得 $x_n < a$，因为 $a>0$ 固定。
步骤 4/6
目标：计算两点列的距离并证明其趋于0
计算 $|x_n-y_n|$：
$$
|x_n-y_n| = \left|\frac{1}{2n\pi} - \frac{1}{2n\pi + \pi/2}\right| = \frac{\pi/2}{(2n\pi)(2n\pi + \pi/2)}
$$
当 $n\to\infty$ 时，分母 ~ $4n^2\pi^2$，因此
$$
|x_n-y_n| \sim \frac{\pi/2}{4n^2\pi^2} = \frac{1}{8\pi n^2} \to 0
$$
公式：$|x_n-y_n| = \frac{\pi}{4n\pi(2n\pi+\pi/2)} \sim \frac{1}{8\pi n^2}$
提示：注意通分时分子为 $\pi/2$，不要算错。
步骤 5/6
目标：计算两个点列的函数值
对于 $x_n$：$\cos(1/x_n) = \cos(2n\pi)=1$，所以
$$
f(x_n) = \frac{x_n+3}{x_n}\cdot 1 = 1 + \frac{3}{x_n} = 1 + 3\cdot 2n\pi = 1 + 6n\pi
$$
对于 $y_n$：$\cos(1/y_n) = \cos(2n\pi+\pi/2)=0$，所以
$$
f(y_n) = \frac{y_n+3}{y_n}\cdot 0 = 0
$$
公式：$f(x_n)=1+6n\pi,\quad f(y_n)=0$
提示：注意 $\frac{3}{x_n}=3\cdot 2n\pi$，不要遗漏系数。
步骤 6/6
目标：比较函数值之差并得出结论
计算差值：
$$
|f(x_n)-f(y_n)| = |1+6n\pi - 0| = 1+6n\pi \to \infty \quad (n\to\infty)
$$
因此，虽然 $|x_n-y_n|\to 0$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|$ 不趋于0，更不满足一致连续的条件。故函数 $f(x)$ 在 $(0,a]$ 上不一致连续。
公式：$|f(x_n)-f(y_n)| = 1+6n\pi \to +\infty$
提示：差值趋于无穷大，显然不收敛到0，因此不一致连续得证。
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