华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）证明：若 $\displaystyle p_{k}>0, k=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_{n}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$（ $a$ 为实常数）．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_{1} a_{n}+p_{2} a_{n-1}+\cdots+p_{n} a_{1}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}=a .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义符号并改写目标表达式
记 $S_n = p_1 + p_2 + \cdots + p_n$，$T_n = \frac{p_1 a_n + p_2 a_{n-1} + \cdots + p_n a_1}{S_n}$。则要证明 $\lim_{n\to\infty} T_n = a$。将 $T_n - a$ 改写为：
$$
T_n - a = \frac{\sum_{k=1}^n p_k (a_{n+1-k} - a)}{S_n}.
$$
公式：T_n - a = \frac{\sum_{k=1}^n p_k (a_{n+1-k} - a)}{S_n}
提示：注意下标对应关系：$a_{n+1-k}$ 与 $p_k$ 配对，确保倒序求和。
步骤 2/5
目标：利用 $a_n$ 的收敛性选取分界点
因为 $\lim_{n\to\infty} a_n = a$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $k > N$ 时，$|a_k - a| < \varepsilon$。当 $n > N$ 时，将求和分成两部分：
$$
T_n - a = \frac{\sum_{k=1}^{n-N} p_k (a_{n+1-k} - a)}{S_n} + \frac{\sum_{k=n-N+1}^{n} p_k (a_{n+1-k} - a)}{S_n}.
$$
在第一部分中，$n+1-k \ge N+1$，故 $|a_{n+1-k} - a| < \varepsilon$。
公式：\sum_{k=1}^{n} = \sum_{k=1}^{n-N} + \sum_{k=n-N+1}^{n}
提示：分界点 $N$ 由 $a_n$ 的收敛性决定，与 $p_k$ 无关。
步骤 3/5
目标：估计第一部分（下标大的项）
第一部分绝对值满足：
$$
\left|\frac{\sum_{k=1}^{n-N} p_k (a_{n+1-k} - a)}{S_n}\right| \le \frac{\sum_{k=1}^{n-N} p_k \cdot \varepsilon}{S_n} \le \varepsilon.
$$
因为 $S_n$ 包含所有 $p_k$ 的和，且分子中 $p_k$ 为正。
公式：\left|\frac{\sum_{k=1}^{n-N} p_k (a_{n+1-k} - a)}{S_n}\right| \le \varepsilon
提示：这里用到了 $\sum_{k=1}^{n-N} p_k \le S_n$，所以比值不超过 $\varepsilon$。
步骤 4/5
目标：估计第二部分（下标小的项）并利用 $p_n/S_n \to 0$
第二部分中，下标 $n+1-k$ 的范围是 $1$ 到 $N$，共 $N$ 项。令 $M = \max_{1 \le i \le N} |a_i - a|$，则：
$$
\left|\frac{\sum_{k=n-N+1}^{n} p_k (a_{n+1-k} - a)}{S_n}\right| \le M \cdot \frac{p_{n-N+1} + \cdots + p_n}{S_n}.
$$
由条件 $\lim_{n\to\infty} \frac{p_n}{S_n} = 0$，对任意 $\delta > 0$，存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时，$\frac{p_n}{S_n} < \frac{\delta}{N}$。于是：
$$
\frac{p_{n-N+1} + \cdots + p_n}{S_n} < N \cdot \frac{\delta}{N} = \delta.
$$
取 $\delta = \varepsilon / M$（若 $M=0$ 则直接为零），则当 $n$ 充分大时，第二部分绝对值小于 $\varepsilon$。
公式：\frac{p_{n-N+1} + \cdots + p_n}{S_n} < \delta
提示：关键是将 $p_n/S_n \to 0$ 推广到有限项和的比例也趋于0，需用 $N$ 固定这一事实。
步骤 5/5
目标：综合两部分得到最终极限
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 由 $a_n$ 收敛性确定，再取 $n$ 足够大使得第二部分也小于 $\varepsilon$，则：
$$
|T_n - a| \le \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon.
$$
由于 $\varepsilon$ 任意，故 $\lim_{n\to\infty} T_n = a$。
公式：\lim_{n\to\infty} T_n = a
提示：注意 $2\varepsilon$ 不影响结论，因为 $\varepsilon$ 可任意小。
步骤 6/6
目标：综合两部分估计，完成证明
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 使 $k > N$ 时 $|a_k - a| < \varepsilon$，再取 $n$ 足够大使得第二部分小于 $\varepsilon$。则当 $n$ 充分大时：
$$|T_n - a| \le \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon.$$
由极限定义，$\lim_{n \to \infty} T_n = a$。
公式：|T_n - a| < 2\varepsilon \quad (n \to \infty)
提示：最终结论是 $2\varepsilon$ 控制，由于 $\varepsilon$ 任意小，极限为 $a$。注意 $\varepsilon$ 的取法顺序：先由 $a_n$ 收敛定 $N$，再由 $p_n/S_n \to 0$ 定 $n$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。