华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
1．用全微分的定义证明：对任意 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in(a, b) \times(c, d), F(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出增量表达式
设 $(x_0, y_0)$ 为区域内任意一点，考虑增量 $\Delta F = F(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - F(x_0, y_0)$。将增量分解为两项之和：
$$\Delta F = [F(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - F(x_0, y_0+\Delta y)] + [F(x_0, y_0+\Delta y) - F(x_0, y_0)].$$
公式：$\Delta F = [F(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - F(x_0, y_0+\Delta y)] + [F(x_0, y_0+\Delta y) - F(x_0, y_0)]$
提示：注意分解时先固定 $y$ 的变化，再处理 $x$ 的变化，以便应用一元微分中值定理。
步骤 2/6
目标：应用一元微分中值定理
假设 $F$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数存在，则由拉格朗日中值定理，存在 $\theta_1 \in (0,1)$ 和 $\theta_2 \in (0,1)$，使得：
$$F(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - F(x_0, y_0+\Delta y) = F_x(x_0+\theta_1\Delta x, y_0+\Delta y)\,\Delta x,$$
$$F(x_0, y_0+\Delta y) - F(x_0, y_0) = F_y(x_0, y_0+\theta_2\Delta y)\,\Delta y.$$
公式：$F(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - F(x_0, y_0+\Delta y) = F_x(x_0+\theta_1\Delta x, y_0+\Delta y)\,\Delta x$
提示：中值定理要求函数在区间上连续、在开区间内可导，这里对一元函数 $F(\cdot, y_0+\Delta y)$ 和 $F(x_0, \cdot)$ 分别应用。
步骤 3/6
目标：利用偏导数连续性
由于 $F_x$ 和 $F_y$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，当 $(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)$ 时，有：
$$F_x(x_0+\theta_1\Delta x, y_0+\Delta y) = F_x(x_0,y_0) + \varepsilon_1,$$
$$F_y(x_0, y_0+\theta_2\Delta y) = F_y(x_0,y_0) + \varepsilon_2,$$
其中 $\varepsilon_1\to 0,\ \varepsilon_2\to 0$。
公式：$F_x(x_0+\theta_1\Delta x, y_0+\Delta y) = F_x(x_0,y_0) + \varepsilon_1$
提示：连续性保证了当自变量变化很小时，偏导数值的变化也很小，这是将余项处理为高阶无穷小的关键。
步骤 4/6
目标：代入并整理增量表达式
将中值定理和连续性结果代入增量表达式：
$$\Delta F = [F_x(x_0,y_0)+\varepsilon_1]\Delta x + [F_y(x_0,y_0)+\varepsilon_2]\Delta y$$
$$= F_x(x_0,y_0)\Delta x + F_y(x_0,y_0)\Delta y + (\varepsilon_1\Delta x + \varepsilon_2\Delta y).$$
公式：$\Delta F = F_x(x_0,y_0)\Delta x + F_y(x_0,y_0)\Delta y + (\varepsilon_1\Delta x + \varepsilon_2\Delta y)$
提示：这里 $A = F_x(x_0,y_0)$, $B = F_y(x_0,y_0)$ 就是全微分定义中的常数。
步骤 5/6
目标：验证余项为高阶无穷小
记 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，则余项 $R = \varepsilon_1\Delta x + \varepsilon_2\Delta y$ 满足：
$$|R| \leq |\varepsilon_1||\Delta x| + |\varepsilon_2||\Delta y| \leq (|\varepsilon_1|+|\varepsilon_2|)\rho.$$
因此
$$\frac{|R|}{\rho} \leq |\varepsilon_1|+|\varepsilon_2| \to 0 \quad (\text{当 }(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)).$$
即 $R = o(\rho)$。
公式：$\frac{|\varepsilon_1\Delta x + \varepsilon_2\Delta y|}{\rho} \leq |\varepsilon_1|+|\varepsilon_2| \to 0$
提示：注意 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 趋于0的速度与 $\Delta x,\Delta y$ 无关，因此余项确实是比 $\rho$ 更高阶的无穷小。
步骤 6/6
目标：得出结论
由全微分的定义，存在常数 $A=F_x(x_0,y_0)$, $B=F_y(x_0,y_0)$，使得
$$\Delta F = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho),$$
故 $F$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，且全微分为 $dF = F_x(x_0,y_0)\,dx + F_y(x_0,y_0)\,dy$。由于 $(x_0,y_0)$ 是区域内任意一点，结论成立。
公式：$\Delta F = F_x(x_0,y_0)\Delta x + F_y(x_0,y_0)\Delta y + o(\rho)$
提示：全微分的定义要求余项是 $\rho$ 的高阶无穷小，这里已经验证。
步骤 7/7
目标：由全微分定义得出结论
由前一步，我们有
\[
\Delta F = F_x(x_0,y_0)\Delta x + F_y(x_0,y_0)\Delta y + o(\rho),
\]
其中 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$。这正好符合全微分的定义，取 $A = F_x(x_0,y_0)$，$B = F_y(x_0,y_0)$，因此 $F$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微。由于 $(x_0,y_0)$ 是开矩形 $(a,b)\times(c,d)$ 内任意一点，故结论对任意内点成立。
公式：\Delta F = F_x(x_0,y_0)\Delta x + F_y(x_0,y_0)\Delta y + o(\rho)
提示：证明中假设了偏导数连续，这是充分条件。如果题目未明确给出，可能需要补充说明。
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