华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2．给定 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in(a, b) \times(c, d)$ ，求 $z=F(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}, F\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$ 处的切平面方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确切平面公式的适用条件
对于二元函数 $z = F(x, y)$，若在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，则曲面在该点存在切平面。题目已给定 $(x_0, y_0) \in (a, b) \times (c, d)$，且 $F$ 为一般函数，通常假设可微。
提示：注意可微性是切平面存在的前提，若函数不可微则公式不成立。
步骤 2/5
目标：写出切平面方程的标准形式
切平面方程由函数的一阶泰勒展开得到：
\[ z - F(x_0, y_0) = F_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)(y - y_0) \]
其中 $F_x$ 和 $F_y$ 分别表示 $F$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数在 $(x_0, y_0)$ 处的值。
公式：z - F(x_0, y_0) = F_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)(y - y_0)
提示：注意等式左边是 $z$ 减去函数值，右边是线性项的和，不要混淆符号。
步骤 3/5
目标：解释公式的几何意义
该方程表示过点 $(x_0, y_0, F(x_0, y_0))$ 且以向量 $(F_x, F_y, -1)$ 为法向量的平面。法向量由偏导数构成，反映了曲面在该点的局部线性近似。
公式：\text{法向量} = (F_x(x_0, y_0), F_y(x_0, y_0), -1)
提示：法向量的 $z$ 分量为 $-1$，这是将曲面表示为 $z = F(x,y)$ 时的自然结果。
步骤 4/5
目标：整理为一般方程形式
将切平面方程移项可写成：
\[ F_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)(y - y_0) - (z - F(x_0, y_0)) = 0 \]
这种形式便于直接看出法向量。
公式：F_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)(y - y_0) - (z - F(x_0, y_0)) = 0
提示：注意移项时不要漏掉负号，确保等式平衡。
步骤 5/5
目标：给出最终答案
由于题目未给出具体函数 $F$，切平面方程的一般形式为：
\[ z - F(x_0, y_0) = F_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)(y - y_0) \]
其中 $F_x(x_0, y_0)$ 和 $F_y(x_0, y_0)$ 需根据具体函数计算。
公式：z - F(x_0, y_0) = F_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)(y - y_0)
提示：若题目给出具体 $F$，则需先计算偏导数再代入。
步骤 6/7
目标：整理方程（可选）
将方程化为标准形式：
$$z = F(x_0, y_0) + F_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)(y - y_0)$$
公式：$$z = F(x_0, y_0) + F_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)(y - y_0)$$
提示：此形式便于直接写出切平面方程。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
因此，所求切平面方程为：
$$\boxed{z = F(x_0, y_0) + F_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)(y - y_0)}$$
提示：最终答案应包含在方框内，并确保所有符号正确。
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