华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
八．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 分别为闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 及 $\displaystyle [c, d]$ 上的连续函数，定义
$$
F(x, y)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \cdot \int_{c}^{y} g(s) \mathrm{d} s, a \leq x \leq b, c \leq y \leq d .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与函数定义
已知 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$g$ 在 $[c,d]$ 上连续。定义 $F(x,y) = \left( \int_a^x f(t)\, dt \right) \cdot \left( \int_c^y g(s)\, ds \right)$，其中 $a \le x \le b,\ c \le y \le d$。由于 $f,g$ 连续，变上限积分函数 $A(x)=\int_a^x f(t)\, dt$ 和 $B(y)=\int_c^y g(s)\, ds$ 均可微，且 $A'(x)=f(x),\ B'(y)=g(y)$。
公式：A(x)=\int_a^x f(t)\, dt,\quad B(y)=\int_c^y g(s)\, ds,\quad A'(x)=f(x),\ B'(y)=g(y)
提示：注意变上限积分函数的可微性依赖于被积函数的连续性，此处 $f,g$ 连续保证了这一点。
步骤 2/6
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial F}{\partial x}$
将 $F(x,y)=A(x)\cdot B(y)$ 对 $x$ 求偏导，此时 $B(y)$ 视为常数。由乘积法则得 $\frac{\partial F}{\partial x}=A'(x)B(y)=f(x)\int_c^y g(s)\, ds$。
公式：\frac{\partial F}{\partial x}=f(x)\int_c^y g(s)\, ds
提示：求偏导时注意区分变量与常数，$y$ 视为固定值。
步骤 3/6
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial F}{\partial y}$
将 $F(x,y)=A(x)\cdot B(y)$ 对 $y$ 求偏导，此时 $A(x)$ 视为常数。由乘积法则得 $\frac{\partial F}{\partial y}=A(x)B'(y)=\left(\int_a^x f(t)\, dt\right)g(y)$。
公式：\frac{\partial F}{\partial y}=g(y)\int_a^x f(t)\, dt
提示：与上一步对称，注意 $x$ 视为固定值。
步骤 4/6
目标：验证偏导数的连续性及 $F$ 的可微性
由于 $f,g$ 连续，$\int_c^y g(s)\, ds$ 和 $\int_a^x f(t)\, dt$ 均为连续函数，因此 $\frac{\partial F}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial F}{\partial y}$ 在矩形区域 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续。从而 $F$ 是 $C^1$ 类函数，即连续可微。
公式：\text{偏导连续} \Rightarrow F \in C^1
提示：连续可微性可由偏导连续推出，这是多元函数微分学的基本结论。
步骤 5/6
目标：求二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}$
先对 $x$ 求偏导得 $\frac{\partial F}{\partial x}=f(x)\int_c^y g(s)\, ds$，再对 $y$ 求偏导：$\frac{\partial}{\partial y}\left(f(x)\int_c^y g(s)\, ds\right)=f(x)g(y)$。
公式：\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}=f(x)g(y)
提示：注意求导顺序，此处先 $x$ 后 $y$，结果与先 $y$ 后 $x$ 相同（由 Clairaut 定理保证）。
步骤 6/6
目标：求另一个二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x}$ 并验证相等
先对 $y$ 求偏导得 $\frac{\partial F}{\partial y}=g(y)\int_a^x f(t)\, dt$，再对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial}{\partial x}\left(g(y)\int_a^x f(t)\, dt\right)=g(y)f(x)$。与上一步结果相同，符合 Clairaut 定理。
公式：\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x}=g(y)f(x)=f(x)g(y)
提示：混合偏导相等的前提是二阶偏导连续，此处由 $f,g$ 连续可保证。
步骤 7/7
目标：写出全微分形式（可选结论）
若需要全微分，则 $dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy = f(x)\left(\int_c^y g(s)\, ds\right) dx + \left(\int_a^x f(t)\, dt\right) g(y)\, dy$。
公式：$dF = f(x)\left(\int_c^y g(s)\, ds\right) dx + \left(\int_a^x f(t)\, dt\right) g(y)\, dy$
提示：全微分形式常用于后续积分或曲线积分计算。
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