华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）讨论 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 的收玫性，其中 $\displaystyle \alpha$ 为实常数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确收敛性的定义
该积分是无穷限反常积分，需要考察极限 $\lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{\sin x}{x^\alpha} \, dx$ 是否存在有限值。若存在，则积分收敛；否则发散。
公式：$$\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^\alpha} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_1^b \frac{\sin x}{x^\alpha} \, dx$$
提示：注意积分下限为1，避免$x=0$处的奇点问题。
步骤 2/5
目标：分析绝对收敛性
考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^\alpha} \, dx$。由于 $|\sin x| \le 1$，有 $\frac{|\sin x|}{x^\alpha} \le \frac{1}{x^\alpha}$。当 $\alpha > 1$ 时，$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} \, dx$ 收敛，故原积分绝对收敛。当 $\alpha \le 1$ 时，$|\sin x|$ 的平均值为 $2/\pi$，因此 $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^\alpha} \, dx$ 与 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} \, dx$ 同敛散，故 $\alpha \le 1$ 时绝对发散。
公式：$$\int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^\alpha} \, dx \sim \frac{2}{\pi} \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} \, dx \quad (\alpha \le 1)$$
提示：绝对收敛性判断中，比较判别法需注意$|\sin x|$不趋于0，故$\alpha \le 1$时不能由$1/x^\alpha$发散直接得出原积分发散，需用平均值性质。
步骤 3/5
目标：应用Dirichlet判别法分析条件收敛
对于 $\alpha > 0$，令 $f(x)=\sin x$，其原函数 $-\cos x$ 在 $[1,+\infty)$ 上有界；令 $g(x)=1/x^\alpha$，在 $[1,+\infty)$ 上单调递减且 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$。由Dirichlet判别法，积分 $\int_1^{+\infty} f(x)g(x)\,dx$ 收敛。因此当 $\alpha > 0$ 时，原积分条件收敛（结合第二步，$0<\alpha\le1$时非绝对收敛）。
公式：$$\left|\int_1^b \sin x \, dx\right| = |\cos 1 - \cos b| \le 2$$
提示：Dirichlet判别法要求$g(x)$单调趋于0，$\alpha>0$满足；$\alpha=0$时$g(x)=1$不趋于0，不能使用。
步骤 4/5
目标：讨论$\alpha \le 0$的情况
当 $\alpha \le 0$ 时，$1/x^\alpha$ 不趋于0（$\alpha=0$时为常数1，$\alpha<0$时趋于无穷），被积函数振荡且振幅不衰减，积分发散。特别地，$\alpha=0$时，$\int_1^{+\infty} \sin x \, dx$ 的原函数为 $-\cos x$，极限不存在，故发散。
公式：$$\int_1^{+\infty} \sin x \, dx = \lim_{b\to+\infty} (\cos 1 - \cos b) \quad \text{发散}$$
提示：$\alpha<0$时，$x^{-\alpha}$增长，振幅增大，积分更易发散。
步骤 5/5
目标：总结收敛性结论
综合以上分析：当 $\alpha > 1$ 时，积分绝对收敛；当 $0 < \alpha \le 1$ 时，积分条件收敛；当 $\alpha \le 0$ 时，积分发散。
公式：无
提示：注意$\alpha=1$属于条件收敛，因为$\int_1^\infty \frac{|\sin x|}{x} dx$发散（与调和级数类似），但Dirichlet判别法适用。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合以上分析：当 $\alpha > 1$ 时，积分绝对收敛；当 $0 < \alpha \le 1$ 时，积分条件收敛（非绝对收敛）；当 $\alpha \le 0$ 时，积分发散。
公式：无
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛，$\alpha=1$ 时属于条件收敛。
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