华中师范大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
四．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，如果存在 $\displaystyle [a, b]$ 的一个分割
$$
T=\left\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<x_{n}=b\right\}
$$
及常数 $\displaystyle c_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，使得 $\displaystyle f(x)=c_{i}, x \in\left(x_{i-1}, x_{i}\right], i=1,2, \cdots, n, f(a)=c_{1}$ ，则称 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$上的阶梯函数．设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明：对任意 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle [a, b]$ 上的阶梯函数 $\displaystyle f(x)$ ，使得
$$
\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用可积性得到分割，使达布上和与下和之差小于ε
因为 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，由黎曼可积的充要条件，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $[a,b]$ 的一个分割 $T: a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$，使得对应的达布上和 $U(T,g)$ 与达布下和 $L(T,g)$ 满足：$U(T,g) - L(T,g) < \varepsilon$。
公式：U(T,g) - L(T,g) < \varepsilon
提示：注意可积的充要条件是存在分割使上和与下和之差任意小，这是证明的关键起点。
步骤 2/5
目标：定义每个子区间上的上确界和下确界
记 $M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} g(x)$，$m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} g(x)$，则 $U(T,g) = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i$，$L(T,g) = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i$，且 $\sum_{i=1}^n (M_i - m_i) \Delta x_i < \varepsilon$。
公式：\sum_{i=1}^n (M_i - m_i) \Delta x_i < \varepsilon
提示：注意 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，这里利用了上和与下和的定义。
步骤 3/5
目标：构造阶梯函数 f(x)
构造阶梯函数 $f(x)$ 如下：对每个小区间 $(x_{i-1}, x_i]$，令 $f(x) = m_i$，并令 $f(a) = m_1$。这样 $f$ 在每个子区间上是常数，因此是阶梯函数。
公式：f(x) = m_i, \quad x \in (x_{i-1}, x_i]
提示：阶梯函数定义中允许在分割点处取任意值，这里取左端点值不影响积分。
步骤 4/5
目标：估计 |f(x)-g(x)| 的积分
对任意 $x \in (x_{i-1}, x_i]$，有 $m_i \le g(x) \le M_i$，所以 $|f(x)-g(x)| \le M_i - m_i$。于是 $\int_a^b |f(x)-g(x)| \, dx = \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} |f(x)-g(x)| \, dx \le \sum_{i=1}^n (M_i - m_i) \Delta x_i < \varepsilon$。
公式：\int_a^b |f(x)-g(x)| \, dx < \varepsilon
提示：注意积分区间端点处单点不影响积分值，所以可以忽略端点。
步骤 5/5
目标：总结证明结论
因此，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $[a,b]$ 上的阶梯函数 $f(x)$，使得 $\int_a^b |f(x)-g(x)| \, dx < \varepsilon$。证毕。
提示：该结论表明可积函数可以用阶梯函数在 $L^1$ 范数下任意逼近。
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