华中师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right) \sum_{i=0}^{n-1} a^{\frac{i}{n}} \sin \left(a^{\frac{2 i+1}{2 n}}\right)$ ，其中 $a>1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简因子 a^{1/n} - 1 的渐近形式
由于 a > 1，当 n → ∞ 时，a^{1/n} = e^{(\ln a)/n} = 1 + \frac{\ln a}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)，因此 a^{1/n} - 1 = \frac{\ln a}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)。
公式：a^{1/n} - 1 = \frac{\ln a}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)
提示：注意 a^{1/n} 的泰勒展开，保留一阶项即可，高阶项在极限中贡献为零。
步骤 2/4
目标：将极限表达式转化为 Riemann 和的形式
原极限为 \lim_{n\to\infty} \left( a^{1/n} - 1 \right) \sum_{i=0}^{n-1} a^{i/n} \sin\left( a^{(2i+1)/(2n)} \right)。将 a^{1/n} - 1 替换为 \frac{\ln a}{n}（忽略高阶项），则极限等价于 \ln a \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} a^{i/n} \sin\left( a^{(2i+1)/(2n)} \right)。令 x_i = i/n，则步长 \Delta x = 1/n，且 (2i+1)/(2n) = x_i + 1/(2n) → x_i，因此求和部分趋近于 \int_0^1 a^x \sin(a^x) \, dx。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} a^{i/n} \sin\left( a^{(2i+1)/(2n)} \right) = \int_0^1 a^x \sin(a^x) \, dx
提示：注意 Riemann 和中的点取法：这里自变量为 i/n，函数值在 x_i + 1/(2n) 处取值，由于连续性，极限与取 x_i 处相同。
步骤 3/4
目标：计算积分 \int_0^1 a^x \sin(a^x) \, dx
令 u = a^x，则 du = a^x \ln a \, dx，即 dx = \frac{du}{u \ln a}。当 x=0 时 u=1，当 x=1 时 u=a。于是积分化为 \int_1^a u \sin u \cdot \frac{du}{u \ln a} = \frac{1}{\ln a} \int_1^a \sin u \, du。计算 \int_1^a \sin u \, du = -\cos u \big|_1^a = \cos 1 - \cos a。
公式：\int_0^1 a^x \sin(a^x) \, dx = \frac{\cos 1 - \cos a}{\ln a}
提示：换元时注意积分限的对应，并正确化简 du 与 dx 的关系。
步骤 4/4
目标：将积分结果代入原极限并化简
原极限 = \ln a \cdot \frac{\cos 1 - \cos a}{\ln a} = \cos 1 - \cos a。
公式：\lim_{n\to\infty} \left( a^{1/n} - 1 \right) \sum_{i=0}^{n-1} a^{i/n} \sin\left( a^{(2i+1)/(2n)} \right) = \cos 1 - \cos a
提示：注意 \ln a 在分子分母中约去，结果与 a 无关的常数部分为 \cos 1。
步骤 5/5
目标：验证结果并总结
最终极限为 $\cos 1 - \cos a$，与 $a$ 的具体值有关（$a>1$）。推导中每一步的极限交换由函数连续性保证，结果正确。
公式：$\boxed{\cos 1 - \cos a}$
提示：检查 $a=1$ 时公式是否成立？但题目已限定 $a>1$，无需考虑。
步骤 6/6
目标：得出极限结果
因此，原极限 $\lim_{n\to\infty} x_n = \cos 1 - \cos a$。
提示：最终结果是一个与a有关的表达式，a>1。
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