华中师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．求极限
$$
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
其中 $f(x)$ 有连续的导函数，且 $f(0)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将三重积分化为球坐标形式
积分区域为球体 $x^2+y^2+z^2 \le t^2$，半径为 $t$。采用球坐标变换：$x = r\sin\theta\cos\phi$，$y = r\sin\theta\sin\phi$，$z = r\cos\theta$，体积元 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$。被积函数中 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r$，因此积分变为 $\iiint_{r\le t} f(r)\, r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$。
公式：\iiint_{x^2+y^2+z^2 \le t^2} f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^\pi \sin\theta\,\mathrm{d}\theta \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r
提示：注意球坐标变换中 $r$ 的范围是 $0$ 到 $t$，角度范围要正确。
步骤 2/5
目标：分离变量并计算角度积分
角度部分独立积分：$\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi = 2\pi$，$\int_0^\pi \sin\theta\,\mathrm{d}\theta = 2$。因此三重积分化为 $4\pi \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r$。
公式：\iiint = 4\pi \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r
提示：角度积分结果 $4\pi$ 是球体表面积公式的一部分，可记忆。
步骤 3/5
目标：代入极限表达式并化简
原极限为 $\lim_{t\to 0^+} \frac{1}{\pi t^4} \cdot 4\pi \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r = \lim_{t\to 0^+} \frac{4}{t^4} \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r$。
公式：\lim_{t\to 0^+} \frac{1}{\pi t^4} \iiint = \lim_{t\to 0^+} \frac{4}{t^4} \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r
提示：注意系数 $4\pi$ 与分母 $\pi$ 约简。
步骤 4/5
目标：应用洛必达法则处理 $\frac{0}{0}$ 型极限
令 $F(t)=\int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r$，则当 $t\to 0^+$ 时 $F(t)\to 0$，$t^4\to 0$，满足洛必达条件。分子求导得 $F'(t)=f(t)t^2$，分母求导得 $4t^3$。于是极限化为 $\lim_{t\to 0^+} \frac{4f(t)t^2}{4t^3} = \lim_{t\to 0^+} \frac{f(t)}{t}$。
公式：\lim_{t\to 0^+} \frac{4}{t^4} \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r = \lim_{t\to 0^+} \frac{f(t)}{t}
提示：使用洛必达法则前需确认分子分母均趋于0，且导数存在。
步骤 5/5
目标：利用导数定义求出极限值
由 $f(0)=0$ 且 $f$ 可导，根据导数定义：$\lim_{t\to 0^+} \frac{f(t)}{t} = \lim_{t\to 0^+} \frac{f(t)-f(0)}{t-0} = f'(0)$。因此原极限值为 $f'(0)$。
公式：\lim_{t\to 0^+} \frac{f(t)}{t} = f'(0)
提示：注意 $f$ 有连续导函数保证了 $f'(0)$ 存在。
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