华中师范大学 2021年数学分析第0题

给定第二型曲面积分 \(I=\iint_{S} x^{3} \,dy\,dz + y^{3} \,dz\,dx + z^{3} \,dx\,dy\)，其中 \(S\) 为球面 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\)，取外侧。由于曲面封闭，且被积函数分量 \(P=x^{3}, Q=y^{3}, R=z^{3}\) 在球内连续可微，满足高斯公式条件。

计算散度：\(\frac{\partial P}{\partial x}=3x^{2},\ \frac{\partial Q}{\partial y}=3y^{2},\ \frac{\partial R}{\partial z}=3z^{2}\)，所以 \(\text{div}(F)=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\)。于是 \(I = \iiint_{V} 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV\)，其中 \(V\) 是球体 \(x^{2}+y^{2}+z^{2} \le a^{2}\)。

球坐标变换：\(x=r\sin\theta\cos\phi,\ y=r\sin\theta\sin\phi,\ z=r\cos\theta\)，体积元 \(dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi\)，且 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\)。积分区域：\(0\le r\le a,\ 0\le\theta\le\pi,\ 0\le\phi\le 2\pi\)。代入得 \(I = 3 \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta \int_{0}^{a} r^{2} \cdot r^{2}\,dr = 3 \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta \int_{0}^{a} r^{4}\,dr\)。

先对 \(r\) 积分：\(\int_{0}^{a} r^{4}\,dr = \frac{a^{5}}{5}\)。再对 \(\theta\) 积分：\(\int_{0}^{\pi} \sin\theta\,d\theta = 2\)。最后对 \(\phi\) 积分：\(\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi\)。相乘得 \(I = 3 \times 2\pi \times 2 \times \frac{a^{5}}{5} = \frac{12\pi a^{5}}{5}\)。

因此，所求第二型曲面积分的值为 \(\boxed{\frac{12\pi a^{5}}{5}}\)。

所以第二型曲面积分的结果为 $\boxed{\frac{12\pi a^5}{5}}$。