华中师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．求 $f(x)$ 的傅里叶级数展开式；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定傅里叶级数形式
对于周期为 \(2\pi\) 的函数，傅里叶级数展开式为：
\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \]
其中系数公式为：
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \]
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \]
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \]
公式：a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx, \quad a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx
提示：注意周期为 \(2\pi\) 时积分区间取 \([-\pi, \pi]\)，若周期不同需调整公式。
步骤 2/5
目标：计算系数 \(a_0\)
由于在 \((-\pi,0)\) 上 \(f(x)=0\)，在 \((0,\pi)\) 上 \(f(x)=1\)，所以积分只在 \((0,\pi)\) 上非零：
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 1 \, dx = \frac{1}{\pi} \cdot \pi = 1 \]
公式：a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 1 \, dx = 1
提示：分段函数积分时注意分段处理，\(a_0\) 对应直流分量。
步骤 3/5
目标：计算系数 \(a_n\)
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\sin(n\pi) - \sin(0)}{n} = 0 \]
因为 \(\sin(n\pi)=0\)，所以对所有 \(n \ge 1\)，\(a_n = 0\)。
公式：a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) dx = 0
提示：注意 \(\sin(n\pi)=0\) 是整数倍 \(\pi\) 的正弦值，易错为 \(\sin(n\pi)\) 可能非零。
步骤 4/5
目标：计算系数 \(b_n\)
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{\cos(n\pi)}{n} + \frac{\cos(0)}{n} \right) \]
\[ = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n\pi} \left( 1 - (-1)^n \right) \]
当 \(n\) 为偶数时，\((-1)^n=1\)，\(b_n=0\)；当 \(n\) 为奇数时，\((-1)^n=-1\)，\(b_n = \frac{2}{n\pi}\)。
公式：b_n = \frac{1}{n\pi} \left( 1 - (-1)^n \right)
提示：注意 \(\cos(n\pi)=(-1)^n\)，区分奇偶性，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：写出傅里叶级数展开式
综合以上系数，代入级数公式：
\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx) \]
由于 \(b_n\) 仅在 \(n\) 为奇数时非零，令 \(n=2k+1\)，\(k=0,1,2,\ldots\)，得：
\[ f(x) \sim \frac{1}{2} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(2k+1)\pi} \sin\big((2k+1)x\big) \]
即：
\[ f(x) \sim \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} \left( \sin x + \frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{5}\sin 5x + \cdots \right) \]
公式：f(x) \sim \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin\big((2k+1)x\big)}{2k+1}
提示：注意 \(a_0/2\) 不要漏掉系数 \(1/2\)，且级数求和时只保留非零项。
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