华中师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并展开傅里叶级数
考虑函数 $f(x)=x^4$ 在区间 $[-\pi,\pi]$ 上，并将其周期延拓。由于 $f(x)$ 是偶函数，其傅里叶级数只含余弦项：
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$$
公式：$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^4 \, dx, \quad a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^4 \cos(nx) \, dx$$
提示：注意偶函数性质可简化积分区间为 $[0,\pi]$，并乘以2。
步骤 2/5
目标：计算傅里叶系数 $a_0$
计算 $a_0$：
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^4 \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^4 \, dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^5}{5} = \frac{2\pi^4}{5}$$
公式：$$a_0 = \frac{2\pi^4}{5}$$
提示：积分时注意 $\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}$。
步骤 3/5
目标：计算傅里叶系数 $a_n$（$n\ge 1$）
利用分部积分法（重复四次）或已知积分公式可得：
$$\int_{0}^{\pi} x^4 \cos(nx) \, dx = \frac{4\pi^3 (-1)^n}{n^2} - \frac{24\pi (-1)^n}{n^4}$$
因此：
$$a_n = \frac{2}{\pi} \left( \frac{4\pi^3 (-1)^n}{n^2} - \frac{24\pi (-1)^n}{n^4} \right) = \frac{8\pi^2 (-1)^n}{n^2} - \frac{48 (-1)^n}{n^4}$$
公式：$$a_n = \frac{8\pi^2 (-1)^n}{n^2} - \frac{48 (-1)^n}{n^4}$$
提示：分部积分时注意符号和边界项，$\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$。
步骤 4/5
目标：写出傅里叶级数并代入 $x=\pi$
傅里叶级数展开为：
$$x^4 = \frac{\pi^4}{5} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{8\pi^2 (-1)^n}{n^2} - \frac{48 (-1)^n}{n^4} \right) \cos(nx)$$
令 $x = \pi$，利用 $\cos(n\pi)=(-1)^n$，得：
$$\pi^4 = \frac{\pi^4}{5} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{8\pi^2 (-1)^n}{n^2} - \frac{48 (-1)^n}{n^4} \right) (-1)^n = \frac{\pi^4}{5} + 8\pi^2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - 48 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$$
公式：$$\pi^4 = \frac{\pi^4}{5} + 8\pi^2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - 48 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$$
提示：注意 $(-1)^n \cdot (-1)^n = 1$，简化了求和项。
步骤 5/5
目标：代入已知结果并求解 $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$，代入上式：
$$\pi^4 = \frac{\pi^4}{5} + 8\pi^2 \cdot \frac{\pi^2}{6} - 48S = \frac{\pi^4}{5} + \frac{4\pi^4}{3} - 48S$$
合并 $\pi^4$ 系数：$\frac{1}{5} + \frac{4}{3} = \frac{3}{15} + \frac{20}{15} = \frac{23}{15}$，得：
$$\pi^4 = \frac{23\pi^4}{15} - 48S$$
移项：
$$48S = \frac{23\pi^4}{15} - \pi^4 = \frac{23\pi^4 - 15\pi^4}{15} = \frac{8\pi^4}{15}$$
因此：
$$S = \frac{8\pi^4}{15 \cdot 48} = \frac{8\pi^4}{720} = \frac{\pi^4}{90}$$
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$$
提示：注意分数化简：$\frac{8}{720} = \frac{1}{90}$，不要遗漏分母的约分。
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