华中师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
七．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{4} x(2 \pi-x), x \in[0,2 \pi]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确周期延拓方式
题目给出区间为 $[0,2\pi]$，通常傅里叶展开时，我们把它周期延拓到整个实数轴，周期为 $2\pi$。函数在端点处可能不连续，但可以按常规计算系数。
公式：周期 $T = 2\pi$
提示：注意区间端点处的函数值可能不一致，但傅里叶级数在间断点处收敛到左右极限的平均值。
步骤 2/5
目标：计算傅里叶系数 $a_0$
傅里叶级数形式为：
$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$
其中
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x)\, dx$$
先计算积分：
$$\int_0^{2\pi} f(x)\,dx = \frac14 \int_0^{2\pi} (2\pi x - x^2)\,dx = \frac14 \left[ \pi x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^{2\pi} = \frac{\pi^3}{3}$$
所以
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{3} = \frac{\pi^2}{3}$$
公式：$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x)\,dx = \frac{\pi^2}{3}$
提示：计算定积分时注意代入上下限要仔细，避免符号错误。
步骤 3/5
目标：计算傅里叶系数 $a_n$
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac14 (2\pi x - x^2) \cos(nx)\, dx$$
先计算两个辅助积分：
$$I_1 = \int_0^{2\pi} x \cos(nx)\,dx = 0$$
$$I_2 = \int_0^{2\pi} x^2 \cos(nx)\,dx = \frac{4\pi}{n^2}$$
于是
$$\int_0^{2\pi} (2\pi x - x^2)\cos(nx)\,dx = 2\pi I_1 - I_2 = -\frac{4\pi}{n^2}$$
因此
$$a_n = \frac{1}{4\pi} \cdot \left( -\frac{4\pi}{n^2} \right) = -\frac{1}{n^2}$$
公式：$a_n = -\frac{1}{n^2}$
提示：分部积分时注意 $\sin(2n\pi)=0$ 和 $\cos(2n\pi)=1$ 的简化。
步骤 4/5
目标：计算傅里叶系数 $b_n$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac14 (2\pi x - x^2) \sin(nx)\, dx$$
先计算两个辅助积分：
$$J_1 = \int_0^{2\pi} x \sin(nx)\,dx = -\frac{2\pi}{n}$$
$$J_2 = \int_0^{2\pi} x^2 \sin(nx)\,dx = -\frac{4\pi^2}{n}$$
于是
$$\int_0^{2\pi} (2\pi x - x^2)\sin(nx)\,dx = 2\pi J_1 - J_2 = -\frac{4\pi^2}{n} + \frac{4\pi^2}{n} = 0$$
因此 $b_n = 0$。
公式：$b_n = 0$
提示：注意 $J_2$ 的计算中，第二项 $\frac{2}{n}I_1$ 因为 $I_1=0$ 而消失。
步骤 5/5
目标：写出傅里叶级数展开式
将系数代入傅里叶级数公式：
$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx) = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^2}$$
这就是 $f(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上的傅里叶余弦级数展开（因为正弦项全为零）。
公式：$f(x) = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^2}$
提示：最终结果中 $\frac{a_0}{2} = \frac{\pi^2}{6}$，注意不要漏掉分母2。
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