华中师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
三．用柯西准则判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$ 的敛散性，其中 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：回忆柯西收敛准则
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛的柯西准则是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $m > n \geq N$ 时，有 $|S_m - S_n| = \left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| < \varepsilon$。对于正项级数，可直接考察部分和的差。
公式：$\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| < \varepsilon$
提示：注意柯西准则要求尾部任意一段和可以任意小，与 m 无关。
步骤 2/7
目标：写出级数并初步分析参数范围
级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$，其中 $\alpha \in \mathbb{R}$。当 $\alpha \leq 0$ 时，通项不趋于 0（$\alpha=0$ 时通项恒为 1，$\alpha<0$ 时通项趋于无穷），级数必然发散。因此只需考虑 $\alpha > 0$ 的情况。
公式：$a_n = \frac{1}{n^{\alpha}}$
提示：通项趋于0是级数收敛的必要条件，但非充分。
步骤 3/7
目标：利用积分估计建立不等式
对于递减函数 $f(x) = 1/x^{\alpha}$（$\alpha > 0$），有积分不等式：$\int_{n+1}^{m+1} \frac{dx}{x^{\alpha}} \leq \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k^{\alpha}} \leq \int_{n}^{m} \frac{dx}{x^{\alpha}}$。
公式：$\int_{n+1}^{m+1} \frac{dx}{x^{\alpha}} \leq \sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k^{\alpha}} \leq \int_{n}^{m} \frac{dx}{x^{\alpha}}$
提示：积分估计适用于单调递减函数，注意积分上下限的调整。
步骤 4/7
目标：分情况讨论：α > 1 时级数收敛
当 $\alpha > 1$ 时，反常积分 $\int_{n}^{\infty} \frac{dx}{x^{\alpha}}$ 收敛。对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得 $\int_{N}^{\infty} \frac{dx}{x^{\alpha}} < \varepsilon$。于是当 $m > n \geq N$ 时，$\sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k^{\alpha}} \leq \int_{n}^{m} \frac{dx}{x^{\alpha}} \leq \int_{n}^{\infty} \frac{dx}{x^{\alpha}} < \varepsilon$，满足柯西条件，级数收敛。
公式：$\sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{k^{\alpha}} \leq \int_{n}^{\infty} \frac{dx}{x^{\alpha}} < \varepsilon$
提示：利用积分上界控制部分和，注意积分收敛性。
步骤 5/7
目标：分情况讨论：0 < α ≤ 1 时级数发散
当 $0 < \alpha \leq 1$ 时，取 $m = 2n$，则 $\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k^{\alpha}} \geq n \cdot \frac{1}{(2n)^{\alpha}} = \frac{1}{2^{\alpha}} n^{1-\alpha}$。若 $\alpha < 1$，则 $n^{1-\alpha} \to \infty$，和可任意大；若 $\alpha = 1$，下界为 $\frac{1}{2}$，不满足任意小的条件。因此柯西条件不成立，级数发散。
公式：$\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k^{\alpha}} \geq \frac{1}{2^{\alpha}} n^{1-\alpha}$
提示：取 m=2n 是常用技巧，利用下界证明发散。
步骤 6/7
目标：总结 α ≤ 0 的情况
当 $\alpha = 0$ 时，通项为 1，部分和 $S_n = n \to \infty$，发散。当 $\alpha < 0$ 时，通项 $n^{-\alpha} \to \infty$，不满足收敛必要条件，发散。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \neq 0$
提示：通项不趋于0是发散的直接原因。
步骤 7/7
目标：给出最终结论
由柯西准则可得：当 $\alpha > 1$ 时，级数收敛；当 $\alpha \leq 1$ 时，级数发散。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \begin{cases} \text{收敛}, & \alpha > 1, \\ \text{发散}, & \alpha \le 1. \end{cases}$
提示：注意 α=1 时是调和级数，发散。
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