华中师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
九．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调递增，证明
$$
\lim _{y \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x) \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2} f\left(0^{+}\right)
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确要证明的极限形式，并引入记号
我们需要证明：
$$\lim_{y \to +\infty} \int_0^1 f(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx = \frac{\pi}{2} f(0^+)$$
其中 $f(0^+)$ 表示 $f$ 在 $0$ 处的右极限，由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，该右极限存在且有限。
公式：$$\lim_{y \to +\infty} \int_0^1 f(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx = \frac{\pi}{2} f(0^+)$$
提示：注意 $f$ 在 $0$ 处不一定连续，因此必须用右极限 $f(0^+)$ 表示。
步骤 2/8
目标：分解积分，将 $f(x)$ 写成 $f(0^+)$ 与一个在 $0$ 附近趋于 $0$ 的函数之和
令 $g(x) = f(x) - f(0^+)$，则 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，且 $g(0^+) = 0$，并且 $g(x) \ge 0$（因为 $f$ 递增）。于是：
$$\int_0^1 f(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx = f(0^+) \int_0^1 \frac{\sin(xy)}{x} \, dx + \int_0^1 g(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$$
公式：$$I(y) = f(0^+) \int_0^1 \frac{\sin(xy)}{x} \, dx + \int_0^1 g(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$$
提示：这里 $g(x)$ 在 $0$ 附近可以任意小，这是后续处理的关键。
步骤 3/8
目标：计算第一项的极限
对第一项作变量代换 $t = xy$，则 $dx = dt/y$，积分限 $x:0\to1$ 对应 $t:0\to y$，得到：
$$\int_0^1 \frac{\sin(xy)}{x} \, dx = \int_0^y \frac{\sin t}{t} \, dt$$
由 Dirichlet 积分 $\int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \, dt = \frac{\pi}{2}$，当 $y \to +\infty$ 时，上式趋于 $\frac{\pi}{2}$。因此第一项的极限为 $f(0^+) \cdot \frac{\pi}{2}$。
公式：$$\lim_{y\to+\infty} f(0^+) \int_0^1 \frac{\sin(xy)}{x} \, dx = \frac{\pi}{2} f(0^+)$$
提示：注意 $\int_0^y \frac{\sin t}{t} \, dt$ 收敛到 $\frac{\pi}{2}$ 是经典结论，可直接引用。
步骤 4/8
目标：处理第二项：将积分区间分为 $[0,\eta]$ 和 $[\eta,1]$
对任意 $\varepsilon > 0$，由于 $g(0^+)=0$ 且 $g$ 单调递增，存在 $\eta > 0$ 使得当 $0 < x < \eta$ 时，$0 \le g(x) < \varepsilon$。将第二项积分拆分为：
$$\int_0^1 g(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx = \int_0^\eta g(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx + \int_\eta^1 g(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$$
公式：$$\int_0^1 = \int_0^\eta + \int_\eta^1$$
提示：$\eta$ 的选取依赖于 $\varepsilon$，后续需要先固定 $\eta$ 再让 $y$ 充分大。
步骤 5/8
目标：证明 $[\eta,1]$ 上的积分趋于 $0$
在区间 $[\eta,1]$ 上，函数 $h(x) = g(x)/x$ 是 Riemann 可积的（因为 $g$ 有界且单调，$x \ge \eta > 0$）。由 Riemann-Lebesgue 引理，对于可积函数 $h(x)$，有：
$$\lim_{y\to\infty} \int_\eta^1 h(x) \sin(xy) \, dx = 0$$
即 $\int_\eta^1 g(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx \to 0$ 当 $y \to \infty$。
公式：$$\lim_{y\to\infty} \int_\eta^1 \frac{g(x)}{x} \sin(xy) \, dx = 0$$
提示：Riemann-Lebesgue 引理要求函数可积，这里 $g(x)/x$ 在 $[\eta,1]$ 上连续（除有限个点外），因此可积。
步骤 6/8
目标：用积分第二中值定理处理 $[0,\eta]$ 上的积分
由于 $g(x)$ 在 $[0,\eta]$ 上单调，由积分第二中值定理，存在 $\xi \in [0,\eta]$ 使得：
$$\int_0^\eta g(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx = g(0^+) \int_0^\xi \frac{\sin(xy)}{x} \, dx + g(\eta) \int_\xi^\eta \frac{\sin(xy)}{x} \, dx$$
因为 $g(0^+)=0$，第一项为 $0$。再作变量代换 $t=xy$，得：
$$\int_\xi^\eta \frac{\sin(xy)}{x} \, dx = \int_{\xi y}^{\eta y} \frac{\sin t}{t} \, dt$$
该积分对一切 $y$ 一致有界（绝对值不超过某个常数 $C$，例如 $C = \pi$）。因此：
$$\left| \int_0^\eta g(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx \right| \le C \, g(\eta)$$
公式：$$\left| \int_0^\eta g(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx \right| \le C \, g(\eta)$$
提示：这里 $g(\eta)$ 可以任意小（因为 $\eta$ 足够小时 $g(\eta) < \varepsilon$），从而整个积分可以任意小。
步骤 7/8
目标：综合两部分，证明第二项整体趋于 $0$
对任意 $\varepsilon > 0$，先取 $\eta$ 足够小使得 $C g(\eta) < \varepsilon/2$，则对任意 $y$，$[0,\eta]$ 上的积分绝对值小于 $\varepsilon/2$。再取 $Y$ 充分大，使得当 $y > Y$ 时，$[\eta,1]$ 上的积分绝对值也小于 $\varepsilon/2$。于是对 $y > Y$，第二项积分绝对值小于 $\varepsilon$。因此：
$$\lim_{y\to\infty} \int_0^1 g(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx = 0$$
公式：$$\lim_{y\to\infty} \int_0^1 g(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx = 0$$
提示：注意这里先取 $\eta$ 再取 $y$ 的顺序不能颠倒，否则无法控制 $[0,\eta]$ 上的积分。
步骤 8/8
目标：得出最终结论
由第一步分解：
$$\lim_{y\to+\infty} \int_0^1 f(x) \frac{\sin(xy)}{x} \, dx = \frac{\pi}{2} f(0^+) + 0 = \frac{\pi}{2} f(0^+)$$
即原极限成立。
公式：$$\boxed{\frac{\pi}{2} f(0^{+})}$$
提示：证明的关键在于将 $f$ 分解并分别处理，利用 Dirichlet 积分和 Riemann-Lebesgue 引理，以及积分第二中值定理处理 $0$ 点附近。
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