华中师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
2．若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有界且连续，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in I: |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon
提示：注意一致连续与逐点连续的区别：一致连续的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点的位置。
步骤 2/6
目标：分析已知条件
已知 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续且有界，即存在 $M > 0$ 使得对所有 $x \ge 0$ 有 $|f(x)| \le M$。
公式：|f(x)| \le M, \quad \forall x \in [0, +\infty)
提示：有界性只保证函数值不无限增大，但不能控制振荡的快慢。
步骤 3/6
目标：判断命题的正确性
在有限闭区间上，连续函数一定一致连续（康托定理）。但无穷区间 $[0, +\infty)$ 上，连续且有界不能保证一致连续。例如函数 $f(x) = \sin(x^2)$ 是反例。
提示：不要误以为有界且连续就自动一致连续，无穷区间需要额外的条件（如导数有界或函数在无穷远处变化缓慢）。
步骤 4/6
目标：构造反例 $f(x) = \sin(x^2)$
函数 $f(x) = \sin(x^2)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，且 $|\sin(x^2)| \le 1$，因此有界。
公式：f(x) = \sin(x^2), \quad |f(x)| \le 1
提示：选择振荡频率逐渐加快的函数是构造反例的常用方法。
步骤 5/6
目标：证明反例不是一致连续的
取 $x_n = \sqrt{2n\pi + \pi/2}$，$y_n = \sqrt{2n\pi}$，则 $|x_n - y_n| = \frac{\pi/2}{\sqrt{2n\pi + \pi/2} + \sqrt{2n\pi}} \to 0$（当 $n \to \infty$），但 $|f(x_n) - f(y_n)| = |\sin(2n\pi + \pi/2) - \sin(2n\pi)| = |1 - 0| = 1$。因此对 $\varepsilon = 1/2$，无论 $\delta$ 多小，总存在 $n$ 使得 $|x_n - y_n| < \delta$ 但 $|f(x_n) - f(y_n)| = 1 > \varepsilon$，故不一致连续。
公式：|x_n - y_n| = \frac{\pi/2}{\sqrt{2n\pi + \pi/2} + \sqrt{2n\pi}} \to 0, \quad |f(x_n) - f(y_n)| = 1
提示：计算两点距离时，利用分子有理化技巧；注意选取的点使函数值差固定为1。
步骤 6/6
目标：得出结论
题目中的命题是错误的，反例为 $f(x) = \sin(x^2)$。
提示：记住这个经典反例，有助于判断类似命题。
步骤 7/7
目标：得出结论
由于存在反例 $f(x)=\sin(x^2)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且有界，但并非一致连续，因此原命题“若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有界且连续，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续”是错误的。
公式：无
提示：注意：如果区间是闭区间 $[a,b]$，则连续可以推出一致连续（康托定理），但无穷区间不满足此性质。
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