华中师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
五．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ，证明：存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subseteq[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(x)>0, x \in[\alpha, \beta]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解条件和目标
已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可积，且积分 $\int_a^b f(x) \, dx > 0$。需要证明存在子区间 $[\alpha, \beta] \subseteq [a,b]$，使得对所有 $x \in [\alpha, \beta]$ 有 $f(x) > 0$。
公式：\int_a^b f(x) \, dx > 0
提示：注意函数不一定连续，但可积性保证我们可以使用达布和或勒贝格积分理论。
步骤 2/6
目标：假设结论不成立，准备反证
假设不存在这样的子区间，即对任意子区间 $[\alpha, \beta] \subseteq [a,b]$，都存在点 $x_0 \in [\alpha, \beta]$ 使得 $f(x_0) \le 0$。我们的目标是推出 $\int_a^b f(x) \, dx \le 0$，与已知矛盾。
提示：反证法是处理存在性问题的常用方法。
步骤 3/6
目标：引入达布下和
由于 $f$ 可积，对任意分割 $P: a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$，记 $m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$，则达布下和为 $L(P,f) = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i$，其中 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$。
公式：L(P,f) = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i
提示：达布下和是积分下界的近似，可积时积分等于下和的上确界。
步骤 4/6
目标：利用假设推出每个小区间上的下确界非正
根据假设，在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，都存在点使得 $f(x) \le 0$，因此该区间上的下确界 $m_i \le 0$。从而对任意分割 $P$，有 $L(P,f) \le 0$。
公式：m_i \le 0 \quad \Rightarrow \quad L(P,f) \le 0
提示：下确界是区间上函数值的最小下界，只要有一点函数值 ≤ 0，下确界就不可能大于 0。
步骤 5/6
目标：由可积性导出矛盾
因为 $f$ 可积，积分值等于所有达布下和的上确界，即 $\int_a^b f(x) \, dx = \sup_P L(P,f)$。由于对所有分割 $P$ 都有 $L(P,f) \le 0$，故上确界也 $\le 0$，从而 $\int_a^b f(x) \, dx \le 0$，与已知 $\int_a^b f(x) \, dx > 0$ 矛盾。
公式：\int_a^b f(x) \, dx = \sup_P L(P,f) \le 0
提示：注意上确界 ≤ 0 是因为所有下和都 ≤ 0，这是反证法的关键步骤。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此假设不成立，必存在某个子区间 $[\alpha, \beta] \subseteq [a,b]$，使得对所有 $x \in [\alpha, \beta]$ 有 $f(x) > 0$。证毕。
提示：结论成立，注意子区间可以是任意小的正区间。
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