华中师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
1．函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确逐点收敛与一致收敛的定义
逐点收敛：对每个固定的 $x \in [0,1]$，有 $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)$。一致收敛：$\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)-f(x)| = 0$。一致收敛蕴含逐点收敛，但反之不真。
公式：\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)-f(x)| = 0
提示：注意逐点收敛只要求每个点单独收敛，而一致收敛要求整体误差一致趋于零。
步骤 2/4
目标：构造反例说明逐点收敛不一定一致收敛
考虑函数列 $f_n(x)=x^n$，定义域 $[0,1]$。对任意 $x \in [0,1)$，$\lim_{n\to\infty} x^n = 0$；在 $x=1$ 处，$\lim_{n\to\infty} 1^n = 1$。因此极限函数为 $f(x)=\begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x=1 \end{cases}$，逐点收敛成立。
公式：f_n(x)=x^n, \quad f(x)=\begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x=1 \end{cases}
提示：极限函数在端点不连续，这往往是一致性被破坏的信号。
步骤 3/4
目标：验证该反例不一致收敛
计算 $\sup_{x\in[0,1]} |x^n - f(x)| = \sup_{x\in[0,1)} x^n = 1$（因为当 $x\to 1^-$ 时 $x^n \to 1$）。该上确界不趋于 $0$，故不一致收敛。
公式：\sup_{x\in[0,1]} |x^n - f(x)| = 1 \not\to 0
提示：上确界为1说明存在点列使得误差始终接近1，无法整体趋近。
步骤 4/4
目标：总结结论
仅由“函数列在 $[0,1]$ 上逐点收敛”不能推出其一致收敛。反例 $f_n(x)=x^n$ 表明，逐点收敛是一致收敛的必要非充分条件。要保证一致收敛，通常需要附加条件（如单调性、连续性等，见Dini定理）。
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛的强弱关系，在分析中常需验证一致收敛以交换极限与积分等运算。
步骤 5/5
目标：总结与扩展
本例展示了函数列收敛性分析的标准步骤：先求点态极限，再计算上确界判断一致收敛。
若原题有具体函数，需类似处理。常见函数列如 $f_n(x)=x^n$、$f_n(x)=\frac{x}{n}$、$f_n(x)=\sin(nx)$ 等，收敛性差异很大。
公式：无
提示：注意区分点态收敛与一致收敛：点态收敛只要求每点极限存在，一致收敛要求整体逼近速度一致。
步骤 6/6
目标：总结
由于题目仅给出收敛条件，无法进一步计算。需根据具体函数形式判断一致收敛性及极限函数的性质。
公式：无
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛。
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