华中师范大学 2021年数学分析第0题

一致收敛是指：对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，对所有 $x \in [0,1]$，都有 $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$。这里的 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于 $x$。

要证明极限函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，即对任意 $x_0 \in [0,1]$ 和任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 且 $x \in [0,1]$ 时，有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。

对任意 $x \in [0,1]$ 和固定的 $n$，将 $|f(x) - f(x_0)|$ 分解为三项之和：$|f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)|$。这样可以将问题转化为分别控制这三项。

由一致收敛，对于给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，对所有 $x \in [0,1]$，有 $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{3}$。特别地，取 $n = N+1$，则第一项 $|f(x) - f_n(x)| < \frac{\varepsilon}{3}$，第三项 $|f_n(x_0) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$。

固定 $n = N+1$，由于 $f_n$ 在 $x_0$ 处连续，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，$|f_n(x) - f_n(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3}$。

当 $|x - x_0| < \delta$ 时，结合前三步的不等式，有 $|f(x) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，$f$ 在 $x_0$ 处连续。由于 $x_0$ 是 $[0,1]$ 上任意一点，所以 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续。

判断一致收敛的关键是计算 $M_n$ 并验证其极限是否为零。若题目给出具体函数列，可套用上述三步法。常见错误包括：误将点态收敛当作一致收敛，或忽略端点效应。