华中师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
3． $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题：判断极限与积分交换是否恒成立
题目给出等式 $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)\,dx = \int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x)\,dx$，但未指定 $f_n$ 的具体形式。在数学分析中，极限与积分交换需要满足一定条件，并非总是成立。因此，我们需要分析成立的条件，并给出反例说明等式不一定成立。
提示：注意：题目没有附加条件，因此应视为一般性命题进行判断。
步骤 2/6
目标：回顾极限与积分交换的充分条件
在区间 $[0,1]$ 上，交换极限与积分通常需要以下条件之一：
1. **一致收敛**：若 $f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $f(x)$，且每个 $f_n$ 可积，则 $\lim \int f_n = \int \lim f_n$。
2. **勒贝格控制收敛定理**：若存在可积函数 $g(x)$ 使得 $|f_n(x)|\le g(x)$ 几乎处处成立，且 $f_n$ 几乎处处收敛于 $f$，则交换成立。
3. **单调收敛定理**：若 $f_n$ 非负且单调递增（或递减）逐点收敛，则交换成立。
若不满足这些条件，交换可能不成立。
公式：一致收敛：$\forall \varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,\forall x\in[0,1],|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
提示：一致收敛是黎曼积分下最常用的条件；控制收敛定理适用于勒贝格积分。
步骤 3/6
目标：构造反例：函数序列在一点附近取大值
考虑经典反例：定义 $f_n(x)=\begin{cases} n, & 0
公式：$f_n(x)=n\cdot\mathbf{1}_{(0,1/n)}(x)$
提示：注意：$f_n$ 在 $x=0$ 处定义为 $0$，不影响积分。
步骤 4/6
目标：计算左边极限：先积分再取极限
计算 $\int_0^1 f_n(x)\,dx = n \cdot \frac{1}{n} = 1$，因此 $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n(x)\,dx = 1$。
公式：$\int_0^1 f_n(x)\,dx = n \times \frac{1}{n} = 1$
提示：积分值恒为1，与 $n$ 无关，极限为1。
步骤 5/6
目标：计算右边极限：先取逐点极限再积分
对任意固定的 $x>0$，当 $n$ 足够大时 $\frac{1}{n}
公式：$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0,\forall x\in[0,1]$
提示：注意：逐点极限处处为0，但积分极限不为0，说明不一致收敛。
步骤 6/6
目标：比较左右极限，得出结论
左边极限为 $1$，右边极限为 $0$，两者不相等。因此原等式不一定成立，需要附加条件（如一致收敛或控制收敛条件）才能保证交换。
公式：$1 \neq 0$
提示：该反例说明即使每个 $f_n$ 可积且逐点收敛，积分与极限仍可能不可交换。
步骤 7/7
目标：总结：交换顺序所需条件
要使极限与积分交换，通常需要满足一致收敛（黎曼积分）或控制收敛定理（勒贝格积分）。例如，若存在可积函数 $g(x)$ 使得 $|f_n(x)| \leq g(x)$ 且 $f_n$ 逐点收敛，则控制收敛定理保证交换。
公式：控制收敛定理：若 $|f_n| \leq g$，$g$ 可积，则 $\lim \int f_n = \int \lim f_n$
提示：注意：控制收敛定理中控制函数 $g$ 必须可积。
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