华中师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
八．设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n^{\alpha} x e^{-n x}$ ，当 $\displaystyle \alpha$ 取何值时，有
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求点态极限函数
对于固定的 $x \ge 0$，考虑极限 $\lim_{n\to\infty} n^{\alpha} x e^{-n x}$。
- 若 $x = 0$，则每一项为 $0$，极限为 $0$。
- 若 $x > 0$，由于指数衰减 $e^{-n x}$ 比多项式增长 $n^{\alpha}$ 更快，极限也为 $0$。
因此，点态极限函数为 $f(x) = 0$，$\forall x \ge 0$。
公式：\lim_{n\to\infty} n^{\alpha} x e^{-n x} = 0, \quad \forall x \ge 0
提示：注意 $x=0$ 和 $x>0$ 需分开讨论，但结果一致。
步骤 2/5
目标：计算函数列的上确界
考虑 $g_n(x) = n^{\alpha} x e^{-n x}$ 在 $[0,\infty)$ 上的最大值。求导：
$g_n'(x) = n^{\alpha} e^{-n x} (1 - n x)$。
令导数为 $0$，得 $x = \frac{1}{n}$。由于导数在 $x < 1/n$ 时为正，$x > 1/n$ 时为负，故该点为最大值点。
最大值为 $g_n\left(\frac{1}{n}\right) = n^{\alpha} \cdot \frac{1}{n} \cdot e^{-1} = n^{\alpha-1} e^{-1}$。
公式：\sup_{x \ge 0} |f_n(x)| = n^{\alpha-1} e^{-1}
提示：求最大值时注意定义域包含 $0$，但最大值在内部取得。
步骤 3/5
目标：推导一致收敛的条件
函数列一致收敛到 $0$ 当且仅当 $\lim_{n\to\infty} \sup_{x \ge 0} |f_n(x)| = 0$，即 $\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-1} e^{-1} = 0$。
这等价于 $\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-1} = 0$，即 $\alpha - 1 < 0$，解得 $\alpha < 1$。
公式：\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-1} = 0 \iff \alpha < 1
提示：注意 $e^{-1}$ 是常数，不影响极限是否为零。
步骤 4/5
目标：分析边界情况
- 若 $\alpha = 1$，则 $\sup |f_n(x)| = e^{-1} > 0$，不趋于 $0$，不一致收敛。
- 若 $\alpha > 1$，则 $\sup |f_n(x)| \to \infty$，更不一致收敛。
因此，仅当 $\alpha < 1$ 时一致收敛。
提示：边界情况常被忽略，需单独验证。
步骤 5/5
目标：总结答案
综合以上分析，函数列 $f_n(x) = n^{\alpha} x e^{-n x}$ 在 $[0,\infty)$ 上一致收敛到 $0$ 当且仅当 $\alpha < 1$。
公式：\alpha < 1
提示：答案需明确写出条件。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，当 $\alpha<1$ 时，函数列 $f_n(x)=n^\alpha x e^{-n x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛于 $0$。
公式：$\alpha<1$
提示：这是常见的一致收敛性判别问题，注意与逐点收敛的区别。
步骤 7/7
目标：总结答案
函数列 $f_n(x)=n^\alpha x e^{-nx}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛于0当且仅当 $\alpha<1$。
提示：最终答案要明确条件。
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