华中师范大学 2021年数学分析第0题

已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减且 $f(x)>0$。由于 $0 \le \sin^2 x \le 1$，可得 $0 \le f(x)\sin^2 x \le f(x)$。由比较判别法，若 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \sin^2 x \, dx$ 也收敛。因此只需证明反向：若 $\int_0^{+\infty} f(x) \sin^2 x \, dx$ 收敛，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。

考虑区间 $[k\pi, (k+1)\pi]$，其中 $k$ 为非负整数。由于 $f$ 单调递减，在该区间上有 $f((k+1)\pi) \le f(x) \le f(k\pi)$。同时，$\sin^2 x$ 在该区间上的积分为 $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{2}$。因此可得下界估计：$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(x) \sin^2 x \, dx \ge f((k+1)\pi) \cdot \frac{\pi}{2}$。

将反常积分写为级数求和：$\int_0^{+\infty} f(x) \sin^2 x \, dx = \sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(x) \sin^2 x \, dx$。利用上一步的下界估计，可得 $\sum_{k=0}^\infty \frac{\pi}{2} f((k+1)\pi) \le \int_0^{+\infty} f(x) \sin^2 x \, dx$。因此，若 $\int f(x)\sin^2 x \, dx$ 收敛，则级数 $\sum_{k=0}^\infty f((k+1)\pi)$ 收敛。

由于 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减且恒正，由积分判别法（Cauchy积分判别法），级数 $\sum_{k=1}^\infty f(k\pi)$ 与积分 $\int_{\pi}^{+\infty} f(x) \, dx$ 具有相同的敛散性。具体地，对递减正函数，有 $\sum_{k=1}^\infty f(k\pi) \le \frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty} f(x) \, dx + f(0)$ 等关系，但更直接地，由 $f$ 递减可得 $\int_{\pi}^{+\infty} f(x) \, dx \le \pi \sum_{k=1}^\infty f(k\pi)$。因此，若 $\sum f(k\pi)$ 收敛，则 $\int_{\pi}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，从而 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛（因为 $[0,\pi]$ 上的积分有限）。

我们已经证明：若 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \sin^2 x \, dx$ 收敛（由比较判别法）；反之，若 $\int_0^{+\infty} f(x) \sin^2 x \, dx$ 收敛，则通过级数估计和积分判别法可得 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。因此，两个反常积分具有相同的收敛性，即同时收敛或同时发散。

已证明两个方向： - 若 $\int f$ 收敛，则 $\int f\sin^2 x$ 收敛（比较判别法）。 - 若 $\int f\sin^2 x$ 收敛，则 $\int f$ 收敛（利用单调性和积分判别法）。 因此两个反常积分具有相同的收敛性。