华中师范大学 2021年数学分析第0题

设 $h(x) = f^2(x)$，则 $h'(x) = 2f(x)f'(x)$。由条件 $|f'(x)| \le |f(x)|$ 可得 $|h'(x)| = 2|f(x)||f'(x)| \le 2|f(x)|^2 = 2h(x)$，因此有 $-2h(x) \le h'(x) \le 2h(x)$。

对于 $x \ge a$，由 $h'(x) \le 2h(x)$ 得 $h'(x) - 2h(x) \le 0$。乘以积分因子 $e^{-2x}$，得 $\frac{d}{dx}\left(e^{-2x}h(x)\right) \le 0$，故 $e^{-2x}h(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调递减。由 $h(a)=0$ 知 $e^{-2x}h(x) \le e^{-2a}h(a)=0$，而 $e^{-2x}h(x) \ge 0$，所以 $h(x)=0$，即 $f(x)=0$。

对于 $x \le a$，由 $h'(x) \ge -2h(x)$ 得 $h'(x) + 2h(x) \ge 0$。乘以积分因子 $e^{2x}$，得 $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}h(x)\right) \ge 0$，故 $e^{2x}h(x)$ 在 $(-\infty, a]$ 上单调递增。由 $h(a)=0$ 知 $e^{2x}h(x) \le e^{2a}h(a)=0$，而 $e^{2x}h(x) \ge 0$，所以 $h(x)=0$，即 $f(x)=0$。

由以上两步，对任意 $x \in \mathbb{R}$，均有 $f(x)=0$，即 $f(x) \equiv 0$。

考虑任意 $x < a$。对任意 $t \in [x, a]$，有 $|f(t)| = |f(t) - f(a)| = \left| \int_a^t f'(s) \, ds \right| = \left| -\int_t^a f'(s) \, ds \right| \leq \int_t^a |f'(s)| \, ds \leq \int_t^a |f(s)| \, ds$。 令 $h(t) = |f(t)|$，则对 $t \leq a$ 有 $h(t) \leq \int_t^a h(s) \, ds$。

作变量替换 $u = -t$，令 $\tilde{g}(u) = h(-u)$，则 $u \geq -a$ 时不等式化为 $\tilde{g}(u) \leq \int_{-a}^u \tilde{g}(v) \, dv$，与右侧情形相同。由Gronwall不等式得 $\tilde{g}(u) \equiv 0$，故 $h(t) \equiv 0$ 对 $t \leq a$ 成立。因此对所有 $x \leq a$，$f(x)=0$。

由右侧和左侧的结论，对所有 $x \in \mathbb{R}$，有 $f(x)=0$，即 $f(x) \equiv 0$。