华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{1+x^{2}}}{\left(\cos x-e^{x^{2}}\right) \sin x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限类型并确定方法
当 $x \to 0$ 时，分子和分母都趋于 $0$，属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式。由于涉及根式、三角函数和指数函数，采用泰勒展开（麦克劳林展开）到足够阶数来求解。
提示：注意展开到使分子分母的最低阶项非零为止，通常需要比较阶数。
步骤 2/6
目标：展开分子 $1+\frac{1}{2}x^2-\sqrt{1+x^2}$
利用 $\sqrt{1+u}=1+\frac{1}{2}u-\frac{1}{8}u^2+O(u^3)$，令 $u=x^2$，得：
$$\sqrt{1+x^2}=1+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4+O(x^6)$$
代入分子：
$$1+\frac{1}{2}x^2-\left(1+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4+O(x^6)\right)=\frac{1}{8}x^4+O(x^6)$$
公式：$\sqrt{1+x^2}=1+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4+O(x^6)$
提示：注意展开到 $x^4$ 项，因为 $x^2$ 项会抵消，最低阶为 $x^4$。
步骤 3/6
目标：展开分母中的 $\cos x - e^{x^2}$
分别展开：
$$\cos x = 1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+O(x^6)$$
$$e^{x^2}=1+x^2+\frac{1}{2}x^4+O(x^6)$$
相减得：
$$\cos x - e^{x^2} = \left(1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4\right)-\left(1+x^2+\frac{1}{2}x^4\right)+O(x^6)$$
$$= -\frac{3}{2}x^2 + \left(\frac{1}{24}-\frac{1}{2}\right)x^4 + O(x^6) = -\frac{3}{2}x^2 -\frac{11}{24}x^4 + O(x^6)$$
公式：$\cos x - e^{x^2} = -\frac{3}{2}x^2 -\frac{11}{24}x^4 + O(x^6)$
提示：注意 $\frac{1}{24}-\frac{1}{2} = -\frac{11}{24}$，不要算错系数。
步骤 4/6
目标：展开分母中的 $\sin x^2$
利用 $\sin u = u - \frac{u^3}{6} + O(u^5)$，令 $u=x^2$，得：
$$\sin x^2 = x^2 - \frac{x^6}{6} + O(x^{10})$$
最低阶为 $x^2$。
公式：$\sin x^2 = x^2 + O(x^6)$
提示：由于分母乘积中 $\cos x - e^{x^2}$ 的最低阶是 $x^2$，$\sin x^2$ 的最低阶也是 $x^2$，因此分母整体最低阶为 $x^4$。
步骤 5/6
目标：计算分母乘积的主项
将 $\cos x - e^{x^2}$ 和 $\sin x^2$ 的展开式相乘，只保留最低阶项：
$$\left(-\frac{3}{2}x^2 + O(x^4)\right) \cdot \left(x^2 + O(x^6)\right) = -\frac{3}{2}x^4 + O(x^6)$$
公式：$(\cos x - e^{x^2})\sin x^2 \sim -\frac{3}{2}x^4$
提示：高阶项不影响极限，只需主项即可。
步骤 6/6
目标：求极限并得出结果
分子主项为 $\frac{1}{8}x^4$，分母主项为 $-\frac{3}{2}x^4$，因此：
$$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{8}x^4 + O(x^6)}{-\frac{3}{2}x^4 + O(x^6)} = \frac{\frac{1}{8}}{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{8} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{1}{12}$$
公式：$\lim_{x\to 0} \frac{1+\frac{1}{2}x^2-\sqrt{1+x^2}}{(\cos x-e^{x^2})\sin x^2} = -\frac{1}{12}$
提示：注意符号：分母主项系数为负，因此结果为负。
步骤 7/8
目标：求极限值
分子主项为 $\frac{1}{8}x^{4}$，分母主项为 $-\frac{3}{2}x^{4}$，因此：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{8}x^{4}}{-\frac{3}{2}x^{4}} = \frac{1}{8} \times \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{1}{12}$$
高阶无穷小项在比值中趋于0，不影响极限。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{8}x^{4}}{-\frac{3}{2}x^{4}} = -\frac{1}{12}
提示：确保分子分母展开到同阶（$x^{4}$），若展开阶数不足可能导致错误结果。
步骤 8/8
目标：写出最终答案
经过上述步骤，极限值为 $\displaystyle -\frac{1}{12}$。
公式：\boxed{-\frac{1}{12}}
提示：最终答案需化简为最简分数形式。
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