华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．设区域 $D$ 由抛物线 $y^{2}=p x, y^{2}=q x, x^{2}=a y, x^{2}=b y(0<p<q, 0<a<b)$ 所围成，计算积分
$$
\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解区域与变量替换
题目中区域由四条曲线围成：$y^2 = p x$, $y^2 = q x$, $x^2 = a y$, $x^2 = b y$，其中 $0
公式：u = \frac{y^2}{x}, \quad v = \frac{x^2}{y}
提示：注意曲线围成的区域在第一象限，因此 $x>0, y>0$，保证变换有意义。
步骤 2/5
目标：反解变量并计算雅可比行列式
由 $u = y^2/x$ 和 $v = x^2/y$ 相乘得 $x^2 y^2 = u v x y$，即 $xy = uv$。再由 $y^2 = u x$ 和 $xy = uv$ 消去 $y$ 得 $x^3 = u v^2$，故 $x = u^{1/3} v^{2/3}$，$y = uv/x = u^{2/3} v^{1/3}$。计算雅可比行列式：$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{3} u^{-2/3} v^{2/3} & \frac{2}{3} u^{1/3} v^{-1/3} \\ \frac{2}{3} u^{-1/3} v^{1/3} & \frac{1}{3} u^{2/3} v^{-2/3} \end{vmatrix} = \frac{1}{9} - \frac{4}{9} = -\frac{1}{3}$，取绝对值得 $\frac{1}{3}$，因此 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac{1}{3} \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$。
公式：x = u^{1/3} v^{2/3}, \quad y = u^{2/3} v^{1/3}, \quad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \frac{1}{3}
提示：计算雅可比行列式时注意偏导数的幂次运算，避免符号错误。
步骤 3/5
目标：变换被积函数并化为累次积分
被积函数 $xy$ 用新变量表示为 $xy = uv$。积分区域变换为 $u \in [p, q]$, $v \in [a, b]$。因此积分化为：$\iint_D xy \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{u=p}^{q} \int_{v=a}^{b} (uv) \cdot \frac{1}{3} \, \mathrm{d}v\,\mathrm{d}u$。
公式：\iint_D xy \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac{1}{3} \int_{p}^{q} \int_{a}^{b} uv \, \mathrm{d}v\,\mathrm{d}u
提示：注意积分顺序可交换，因为被积函数和积分区域都是分离变量的形式。
步骤 4/5
目标：计算积分
先对 $v$ 积分：$\int_{a}^{b} v \, \mathrm{d}v = \frac{b^2 - a^2}{2}$。再对 $u$ 积分：$\int_{p}^{q} u \, \mathrm{d}u = \frac{q^2 - p^2}{2}$。因此积分结果为：$\frac{1}{3} \cdot \frac{q^2 - p^2}{2} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} = \frac{(q^2 - p^2)(b^2 - a^2)}{12}$。
公式：\frac{1}{3} \cdot \frac{q^2 - p^2}{2} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} = \frac{(q^2-p^2)(b^2-a^2)}{12}
提示：注意积分上下限对应关系：$u$ 从 $p$ 到 $q$，$v$ 从 $a$ 到 $b$，不要混淆。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
将计算结果整理，得到二重积分的值为 $\frac{(q^2-p^2)(b^2-a^2)}{12}$。
公式：\boxed{\frac{(q^2-p^2)(b^2-a^2)}{12}}
提示：最终答案应化简为最简形式，注意 $p
步骤 6/7
目标：计算累次积分
分离变量：
$$\frac{1}{3} \left(\int_p^q u^{2/3} \,du\right) \left(\int_a^b v^{2/3} \,dv\right) = \frac{1}{3} \cdot \left[\frac{3}{5} u^{5/3}\right]_p^q \cdot \left[\frac{3}{5} v^{5/3}\right]_a^b = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}(q^{5/3} - p^{5/3}) \cdot \frac{3}{5}(b^{5/3} - a^{5/3}) = \frac{3}{25} (q^{5/3} - p^{5/3})(b^{5/3} - a^{5/3}).$$
公式：\int u^{2/3} \,du = \frac{3}{5} u^{5/3} + C
提示：注意积分公式 $\int x^\alpha \,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$，当 $\alpha \neq -1$。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
因此，所求积分为 $\frac{3}{25} (q^{5/3} - p^{5/3})(b^{5/3} - a^{5/3})$。
提示：结果应化简，注意系数。
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