华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
3．计算
$$
\int_{L}\left(e^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(e^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y
$$
其中 $L$ 是起点为 $(a, 0)$ 经过圆周 $x^{2}+y^{2}=a x$ 上半部分（位于第一象限部分）到终点为 $(0,0)$ 的一段弧，其中 $a, m$ 为大于 0 的实常数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：检查是否为恰当微分或可应用格林公式
记 $P(x,y) = e^x \sin y - m y$，$Q(x,y) = e^x \cos y - m$。计算偏导数：
$$\frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - m, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y$$
则
$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = m \neq 0$$
因此不是恰当微分，但可考虑用格林公式，需补线形成封闭曲线。
公式：\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = m
提示：注意格林公式要求封闭曲线且方向一致，此处路径不封闭，需补线。
步骤 2/5
目标：补上路径形成封闭区域
从 $(0,0)$ 沿 $x$ 轴到 $(a,0)$ 补一条直线段 $L_1$，则 $L + L_1$ 构成逆时针方向的封闭曲线（上半圆从右到左，$x$ 轴从左到右）。设围成区域为 $D$，由格林公式：
$$\oint_{L+L_1} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy = \iint_D m \,dx\,dy$$
公式：\oint_{L+L_1} P\,dx + Q\,dy = \iint_D m \,dx\,dy
提示：注意方向：$L$ 从 $(a,0)$ 到 $(0,0)$，$L_1$ 从 $(0,0)$ 到 $(a,0)$，整体逆时针。
步骤 3/5
目标：计算区域面积
圆方程 $x^2 + y^2 = a x$ 化为标准形式：
$$\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2$$
圆心 $(\frac{a}{2},0)$，半径 $\frac{a}{2}$。区域 $D$ 为上半圆，面积为半圆面积：
$$\text{面积} = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8}$$
因此
$$\iint_D m \,dx\,dy = m \cdot \frac{\pi a^2}{8}$$
公式：\text{面积} = \frac{\pi a^2}{8}
提示：注意圆方程需配方，上半圆面积即半圆面积。
步骤 4/5
目标：计算沿直线段 $L_1$ 的积分
$L_1$ 是从 $(0,0)$ 到 $(a,0)$ 沿 $x$ 轴，此时 $y=0$，$dy=0$。代入 $P$ 和 $Q$：
$$P(x,0) = e^x \cdot 0 - m \cdot 0 = 0$$
$$Q(x,0) = e^x \cos 0 - m = e^x - m$$
由于 $dy=0$，$Q\,dy=0$，整个被积函数为 $0$，故
$$\int_{L_1} P\,dx + Q\,dy = 0$$
公式：\int_{L_1} P\,dx + Q\,dy = 0
提示：沿 $x$ 轴时 $y=0$ 且 $dy=0$，注意 $P$ 中 $\sin 0=0$ 和 $m y=0$ 导致 $P=0$。
步骤 5/5
目标：得到原曲线积分结果
由格林公式：
$$\int_{L} + \int_{L_1} = \frac{m\pi a^2}{8}$$
而 $\int_{L_1}=0$，所以
$$\int_{L} = \frac{m\pi a^2}{8}$$
公式：\int_{L} = \frac{m\pi a^2}{8}
提示：最终结果与 $m$ 和 $a$ 有关，注意 $a>0$。
步骤 6/6
目标：得到原曲线积分结果
原积分 $\int_L = \oint_\Gamma - \int_{L_1} = \frac{m\pi a^2}{8} - 0 = \frac{m\pi a^2}{8}$。
提示：注意符号：$\int_L = \oint_\Gamma - \int_{L_1}$，因为 $\Gamma = L \cup L_1$ 且方向一致。
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