华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
4．设曲面 $S$ 为球面 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ ，其中 $R>0$ ，方向取外侧，计算
$$
\iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别积分类型与向量场
题目中的曲面积分形式为 \(\iint_S x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy\)，这对应于第二类曲面积分。将其视为向量场 \(\mathbf{F} = (P, Q, R) = (x, y, z)\) 在曲面外侧的通量，即 \(\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)。曲面 \(S\) 是球面 \((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2\)，方向取外侧，且为封闭曲面。
公式：\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
提示：注意第二类曲面积分的投影方向：dy dz 对应 x 方向的分量，dz dx 对应 y 方向的分量，dx dy 对应 z 方向的分量。
步骤 2/6
目标：应用高斯散度定理
由于曲面 \(S\) 是封闭的，且 \(P, Q, R\) 在球体内部连续可微，满足高斯公式的条件。高斯公式将曲面积分转化为三重积分：
\[
\iint_S x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dV
\]
其中 \(V\) 是球体内部区域。
公式：\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV
提示：应用高斯公式前必须确认曲面封闭且向量场在区域内连续可微。
步骤 3/6
目标：计算散度
计算向量场 \(\mathbf{F} = (x, y, z)\) 的散度：
\[
\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial z}{\partial z} = 1
\]
因此散度为：
\[
\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3
\]
公式：\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}
提示：散度是标量，表示向量场在某点的发散程度。
步骤 4/6
目标：将曲面积分转化为三重积分
根据高斯公式，原积分化为：
\[
\iint_S x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = \iiint_V 3\,dV = 3 \iiint_V dV
\]
其中 \(\iiint_V dV\) 是球体 \(V\) 的体积。
公式：\iiint_V 3\,dV = 3 \times \text{球的体积}
提示：三重积分中的被积函数为常数时，可直接用体积乘以常数。
步骤 5/6
目标：计算球的体积
球体 \(V\) 的半径为 \(R\)，球心坐标为 \((a, b, c)\)，体积公式与球心位置无关：
\[
\iiint_V dV = \frac{4}{3}\pi R^3
\]
因此：
\[
3 \times \frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3
\]
公式：V_{\text{球}} = \frac{4}{3}\pi R^3
提示：球的体积只与半径有关，与球心坐标无关。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
原曲面积分的计算结果为 \(4\pi R^3\)，与球心位置 \((a, b, c)\) 无关。
公式：\boxed{4\pi R^3}
提示：检查结果量纲：曲面积分结果应为体积量纲，\(R^3\) 正确。
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