华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
5．已知余元公式 $\displaystyle \Gamma(\alpha) \Gamma(1-\alpha)=\frac{\pi}{\sin \alpha \pi}(\alpha \in(0,1))$ ，计算
$$
\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{4}}} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}} \mathrm{~d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将积分与Beta函数联系起来
首先，我们注意到两个积分的形式类似于Beta函数。Beta函数的定义为：
$$B(p,q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}\, dt, \quad \Re(p)>0,\ \Re(q)>0$$
并且有性质：
$$B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$$
为了将原积分化为这种形式，我们做变量替换：令 $t = x^4$，则 $x = t^{1/4}$，$dx = \frac{1}{4} t^{-3/4} dt$。
公式：B(p,q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}\, dt
提示：注意换元时，$dx$ 的表达式要正确计算，不要遗漏系数 $\frac{1}{4}$。
步骤 2/5
目标：计算第一个积分 $I_1 = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$
令 $t = x^4$，则 $x = t^{1/4}$，$dx = \frac{1}{4} t^{-3/4} dt$。当 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $1$。代入得：
$$I_1 = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t}} \cdot \frac{1}{4} t^{-3/4}\, dt = \frac14 \int_0^1 t^{-3/4} (1-t)^{-1/2}\, dt$$
对照Beta函数形式：$t^{-3/4} = t^{1/4 - 1}$，$(1-t)^{-1/2} = (1-t)^{1/2 - 1}$，所以：
$$I_1 = \frac14 B\left(\frac14,\ \frac12\right)$$
公式：I_1 = \frac14 B\left(\frac14,\ \frac12\right)
提示：注意指数转换：$t^{-3/4} = t^{1/4-1}$，$(1-t)^{-1/2} = (1-t)^{1/2-1}$，确保与Beta函数的标准形式匹配。
步骤 3/5
目标：计算第二个积分 $I_2 = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^4}}\, dx$
同样令 $t = x^4$，则 $x^2 = t^{1/2}$，$dx = \frac14 t^{-3/4} dt$。代入得：
$$I_2 = \int_0^1 \frac{t^{1/2}}{\sqrt{1-t}} \cdot \frac14 t^{-3/4}\, dt = \frac14 \int_0^1 t^{-1/4} (1-t)^{-1/2}\, dt$$
这里 $t^{-1/4} = t^{3/4 - 1}$，所以：
$$I_2 = \frac14 B\left(\frac34,\ \frac12\right)$$
公式：I_2 = \frac14 B\left(\frac34,\ \frac12\right)
提示：注意 $x^2 = t^{1/2}$，与 $dx$ 中的 $t^{-3/4}$ 相乘后指数为 $t^{-1/4}$，对应 $p = 3/4$。
步骤 4/5
目标：将乘积用Gamma函数表示并利用余元公式化简
计算乘积：
$$I_1 I_2 = \frac{1}{16} B\left(\frac14,\frac12\right) B\left(\frac34,\frac12\right)$$
用Gamma函数表示：
$$B\left(\frac14,\frac12\right) = \frac{\Gamma(\frac14)\Gamma(\frac12)}{\Gamma(\frac14+\frac12)} = \frac{\Gamma(\frac14)\Gamma(\frac12)}{\Gamma(\frac34)}$$
$$B\left(\frac34,\frac12\right) = \frac{\Gamma(\frac34)\Gamma(\frac12)}{\Gamma(\frac34+\frac12)} = \frac{\Gamma(\frac34)\Gamma(\frac12)}{\Gamma(\frac54)}$$
注意 $\frac54 = 1 + \frac14$，由Gamma函数性质 $\Gamma(1+z)=z\Gamma(z)$，得：
$$\Gamma\left(\frac54\right) = \frac14 \Gamma\left(\frac14\right)$$
代入乘积：
$$B\left(\frac14,\frac12\right) B\left(\frac34,\frac12\right) = \frac{\Gamma(\frac14)\Gamma(\frac12)}{\Gamma(\frac34)} \cdot \frac{\Gamma(\frac34)\Gamma(\frac12)}{\frac14 \Gamma(\frac14)} = \frac{[\Gamma(\frac12)]^2}{\frac14} = 4\pi$$
因为 $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$。
公式：\Gamma(1+z)=z\Gamma(z), \quad \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}
提示：注意余元公式 $\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\frac{\pi}{\sin \alpha \pi}$ 在此处并未直接使用，而是通过Gamma函数的递推性质化简；实际上 $\Gamma(\frac14)\Gamma(\frac34)$ 的乘积可通过余元公式得到，但这里利用递推更简洁。
步骤 5/5
目标：得到最终结果
将上述结果代入 $I_1 I_2$：
$$I_1 I_2 = \frac{1}{16} \times 4\pi = \frac{\pi}{4}$$
公式：I_1 I_2 = \frac{\pi}{4}
提示：最终结果是一个简洁的常数，注意检查系数计算是否正确。
步骤 6/7
目标：乘积并利用 Gamma 函数化简
原积分为：
$$\left(\frac{1}{4} B\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)\right) \left(\frac{1}{4} B\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{16} B\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) B\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\right).$$
利用 $B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$，得：
$$B\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) = \frac{\Gamma(1/4)\Gamma(1/2)}{\Gamma(3/4)},\quad B\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\right) = \frac{\Gamma(3/4)\Gamma(1/2)}{\Gamma(5/4)}.$$
相乘得：
$$\frac{1}{16} \cdot \frac{\Gamma(1/4)\Gamma(1/2)}{\Gamma(3/4)} \cdot \frac{\Gamma(3/4)\Gamma(1/2)}{\Gamma(5/4)} = \frac{1}{16} \cdot \frac{\Gamma(1/4)\Gamma(1/2)^2}{\Gamma(5/4)}.$$
公式：$B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$
提示：注意 Gamma 函数性质 $\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)$。
步骤 7/7
目标：利用 Gamma 函数性质及余元公式求值
由于 $\Gamma(5/4) = \frac{1}{4} \Gamma(1/4)$，代入得：
$$\frac{1}{16} \cdot \frac{\Gamma(1/4)\Gamma(1/2)^2}{\frac{1}{4} \Gamma(1/4)} = \frac{1}{4} \Gamma(1/2)^2.$$
由余元公式 $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$，所以 $\Gamma(1/2)^2 = \pi$，因此原积分为 $\frac{\pi}{4}$。
公式：$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$
提示：余元公式 $\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\frac{\pi}{\sin \alpha \pi}$，取 $\alpha=1/2$ 得 $\Gamma(1/2)^2 = \pi$。
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