华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}}-\frac{1}{x}\right) \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x \mathrm{~d} x=0$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析被积函数在 x=0 附近的行为，验证可积性
被积函数为 $f(x)=\left(\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac{1}{x}\right)\sin\left(n+\frac12\right)x$。考虑括号内的部分在 $x\to 0$ 时的展开：$\sin\frac{x}{2}\sim \frac{x}{2}-\frac{x^3}{48}+\cdots$，则 $\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}}\sim \frac{1}{x}\left(1+\frac{x^2}{24}+\cdots\right)$，因此 $\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac{1}{x}\sim \frac{x}{24}+O(x^3)$。这说明该函数在 $x=0$ 处连续（可定义值为0），从而在整个 $[0,\pi]$ 上连续，故可积。
公式：\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac{1}{x}\sim \frac{x}{24}+O(x^3)
提示：注意 $x=0$ 是可能的奇点，但通过展开发现奇点被消去，函数连续，这是应用Riemann-Lebesgue引理的前提。
步骤 2/3
目标：应用Riemann-Lebesgue引理
令 $g(x)=\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac{1}{x}$，则 $g(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上连续，因此Lebesgue可积。Riemann-Lebesgue引理指出：若 $g$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $\lim_{\lambda\to\infty}\int_a^b g(x)\sin(\lambda x)\,dx=0$。这里 $\lambda=n+\frac12\to\infty$（当 $n\to\infty$），故有 $\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi g(x)\sin\left((n+\tfrac12)x\right)dx=0$。
公式：\lim_{\lambda\to\infty}\int_a^b g(x)\sin(\lambda x)\,dx=0
提示：确保 $g(x)$ 在区间上可积（连续即可），且振荡因子频率趋于无穷。
步骤 3/3
目标：得出结论
由上述推导，原极限等于0。
公式：\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^\pi\left(\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac{1}{x}\right)\sin\left(n+\frac12\right)x\,dx=0
提示：最终结果简洁，但需注意中间步骤的严谨性。
步骤 4/5
目标：应用 Riemann-Lebesgue 引理得到极限
将 $f(x)$ 视为引理中的 $g(x)$，$\sin\left((n+\frac{1}{2})x\right)$ 视为振荡项，由引理直接得到：$\lim_{n\to\infty} \int_0^\pi f(x) \sin\left((n+\frac{1}{2})x\right) dx = 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \int_0^\pi \left(\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}} - \frac{1}{x}\right) \sin\left((n+\frac{1}{2})x\right) dx = 0$
提示：注意正弦函数中的常数偏移 $\frac{1}{2}$ 不影响引理的结论，因为 $\sin((n+1/2)x)$ 仍可视为 $\sin(nx)$ 的线性组合。
步骤 5/5
目标：总结结论
原极限等式成立，极限值为 0。
公式：$\boxed{0}$
提示：本题核心是利用 Riemann-Lebesgue 引理，关键在于验证被积函数中非振荡部分的绝对可积性。
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