华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确认积分收敛性
在 $x \to 0$ 时，$\frac{\sin x}{x} \to 1$，所以 $0$ 附近没有奇点，是正常的定积分。在 $x \to +\infty$ 时，虽然 $\frac{1}{x}$ 衰减较慢，但 $\sin x$ 振荡，可以通过 Dirichlet 判别法判断它是条件收敛的。因此积分是收敛的。
公式：\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛，这里仅条件收敛。
步骤 2/5
目标：引入含参积分辅助函数
考虑辅助函数 $I(t) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} e^{-tx} \, dx$，其中 $t \ge 0$。当 $t>0$ 时，被积函数有指数衰减，绝对可积，可以对参数 $t$ 求导。
公式：I(t)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} e^{-tx} \, dx
提示：引入指数因子 $e^{-tx}$ 是为了使积分在无穷远处绝对收敛，便于求导。
步骤 3/5
目标：对参数 t 求导
在 $t>0$ 时，对积分号内求导：$I'(t) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \cdot (-x) e^{-tx} \, dx = -\int_{0}^{+\infty} \sin x \, e^{-tx} \, dx$。这是一个标准的 Laplace 变换，结果为 $\int_{0}^{+\infty} e^{-tx} \sin x \, dx = \frac{1}{t^2+1}$。因此 $I'(t) = -\frac{1}{t^2+1}$。
公式：I'(t) = -\int_{0}^{+\infty} \sin x \, e^{-tx} \, dx = -\frac{1}{t^2+1}
提示：求导时注意 $\frac{\partial}{\partial t} e^{-tx} = -x e^{-tx}$，与分母的 $x$ 约去。
步骤 4/5
目标：积分求 I(t) 并确定常数
对 $t$ 积分得 $I(t) = -\arctan t + C$。当 $t \to +\infty$ 时，由于指数衰减，$I(t) \to 0$，而 $\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$，所以 $0 = -\frac{\pi}{2} + C$，解得 $C = \frac{\pi}{2}$。因此 $I(t) = \frac{\pi}{2} - \arctan t$。
公式：I(t) = \frac{\pi}{2} - \arctan t
提示：利用 $t\to+\infty$ 时 $I(t)\to 0$ 确定积分常数。
步骤 5/5
目标：令 t→0+ 得到原积分值
原积分就是 $I(0)$，由连续性：$I(0) = \lim_{t\to 0^+} I(t) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$。因此 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}$。
公式：\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \frac{\pi}{2}
提示：注意 $t=0$ 时积分是条件收敛的，但通过极限过程得到结果。
步骤 6/6
目标：令 \( a \to 0^+ \) 得到原积分值
原积分 \( \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx \) 对应 \( a = 0 \) 的情形，但由于 \( a=0 \) 时积分条件收敛，我们取极限 \( a \to 0^+ \)：
\[ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \lim_{a \to 0^+} I(a) = \frac{\pi}{2} - \arctan 0 = \frac{\pi}{2} \]
公式：\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}
提示：注意 \( \arctan 0 = 0 \)，且极限 \( a \to 0^+ \) 时 \( I(a) \) 连续，因此可直接代入。
步骤 7/8
目标：得到含参积分表达式
于是
$$ I(a) = \frac{\pi}{2} - \arctan a. $$
步骤 8/8
目标：取极限得到原积分
令 $a \to 0^+$，得
$$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \lim_{a \to 0^+} I(a) = \frac{\pi}{2} - \arctan 0 = \frac{\pi}{2}. $$
提示：注意 $\arctan 0 = 0$。
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