华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）已知等式： $\displaystyle 2 \sin \frac{x}{2}\left(\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n} \cos k x\right)=\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x, x \in[-\pi, \pi]$ ，证明：
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将左边表达式拆分为两项之和
左边表达式为 \(2 \sin \frac{x}{2} \left( \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos kx \right)\)，将其拆分为 \(2 \sin \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \sum_{k=1}^{n} \cos kx = \sin \frac{x}{2} + \sum_{k=1}^{n} 2 \sin \frac{x}{2} \cos kx\)。
公式：\sin \frac{x}{2} + \sum_{k=1}^{n} 2 \sin \frac{x}{2} \cos kx
提示：注意将常数项 \(\frac{1}{2}\) 与求和号分开处理，避免遗漏因子。
步骤 2/6
目标：对每一项应用积化和差公式
利用积化和差公式 \(2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)\)，令 \(A = \frac{x}{2}\)，\(B = kx\)，得 \(2 \sin \frac{x}{2} \cos kx = \sin\left( \frac{x}{2} + kx \right) + \sin\left( \frac{x}{2} - kx \right)\)。
公式：2 \sin \frac{x}{2} \cos kx = \sin\left( \left(k+\frac{1}{2}\right)x \right) + \sin\left( \left(\frac{1}{2} - k\right)x \right)
提示：注意角度单位，\(\frac{x}{2} + kx = (k+\frac{1}{2})x\)，\(\frac{x}{2} - kx = (\frac{1}{2} - k)x\)。
步骤 3/6
目标：利用正弦函数的奇偶性化简第二项
由于 \(\sin(-\theta) = -\sin \theta\)，且 \(\frac{1}{2} - k = -(k - \frac{1}{2})\)，所以 \(\sin\left( \left(\frac{1}{2} - k\right)x \right) = -\sin\left( \left(k - \frac{1}{2}\right)x \right)\)。因此 \(2 \sin \frac{x}{2} \cos kx = \sin\left( \left(k+\frac{1}{2}\right)x \right) - \sin\left( \left(k-\frac{1}{2}\right)x \right)\)。
公式：2 \sin \frac{x}{2} \cos kx = \sin\left( \left(k+\frac{1}{2}\right)x \right) - \sin\left( \left(k-\frac{1}{2}\right)x \right)
提示：注意符号变化，\(\sin(\frac{1}{2}-k)x\) 转化为负的 \(\sin(k-\frac{1}{2})x\)。
步骤 4/6
目标：将化简后的结果代入求和式并展开
代入得 \(\sum_{k=1}^{n} 2 \sin \frac{x}{2} \cos kx = \sum_{k=1}^{n} \left[ \sin\left( \left(k+\frac{1}{2}\right)x \right) - \sin\left( \left(k-\frac{1}{2}\right)x \right) \right]\)。展开求和：\(k=1\) 时 \(\sin\frac{3x}{2} - \sin\frac{x}{2}\)，\(k=2\) 时 \(\sin\frac{5x}{2} - \sin\frac{3x}{2}\)，...，\(k=n\) 时 \(\sin\left( (n+\frac{1}{2})x \right) - \sin\left( (n-\frac{1}{2})x \right)\)。
公式：\sum_{k=1}^{n} \left[ \sin\left( (k+\frac{1}{2})x \right) - \sin\left( (k-\frac{1}{2})x \right) \right]
提示：展开时注意每一项的符号，为后续裂项相消做准备。
步骤 5/6
目标：裂项相消并合并常数项
将展开后的各项相加，中间项正负抵消，只剩下 \(-\sin\frac{x}{2}\)（来自 \(k=1\) 的第二项）和 \(\sin\left( (n+\frac{1}{2})x \right)\)（来自 \(k=n\) 的第一项）。加上之前的常数项 \(\sin\frac{x}{2}\)，得 \(\sin\frac{x}{2} + \left[ -\sin\frac{x}{2} + \sin\left( (n+\frac{1}{2})x \right) \right] = \sin\left( (n+\frac{1}{2})x \right)\)。
公式：\sin\frac{x}{2} + \left( -\sin\frac{x}{2} + \sin\left( (n+\frac{1}{2})x \right) \right) = \sin\left( n+\frac{1}{2} \right)x
提示：注意 \(\sin\frac{x}{2}\) 与 \(-\sin\frac{x}{2}\) 抵消，最终结果仅剩一项。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此左边等于右边，即 \(2 \sin \frac{x}{2} \left( \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos kx \right) = \sin\left( n+\frac{1}{2} \right)x\) 对所有 \(x \in [-\pi, \pi]\) 成立。
公式：2 \sin \frac{x}{2} \left( \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos kx \right) = \sin\left( n+\frac{1}{2} \right)x
提示：该等式是傅里叶级数中Dirichlet核推导的基础，注意定义域为闭区间。
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