华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．当 $0<p<1$ 时，有 $x^{p}+y^{p} \geq(x+y)^{p}$ ；
2 ．当 $p \geq 1$ 时，有 $x^{p}+y^{p} \leq(x+y)^{p}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确前提条件
由于幂函数 $x^p$ 在 $x<0$ 时可能无定义或不等号方向变化，因此默认 $x \geq 0$, $y \geq 0$。
提示：注意 $p$ 为实数时，非负条件是保证不等式成立的基础。
步骤 2/6
目标：分析 $0
计算二阶导数：$f''(t)=p(p-1)t^{p-2}$。由于 $0
公式：$f''(t)=p(p-1)t^{p-2}<0$
提示：凹函数的二阶导数小于0，这是判断凹凸性的关键。
步骤 3/6
目标：利用凹函数性质证明 $0
凹函数满足：$f(\lambda a+(1-\lambda)b) \geq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)$，其中 $\lambda \in [0,1]$。取 $a=x+y$, $b=0$, $\lambda = \frac{x}{x+y}$，代入得：$f\left(\frac{x}{x+y}(x+y)+\frac{y}{x+y}\cdot 0\right) \geq \frac{x}{x+y}f(x+y)+\frac{y}{x+y}f(0)$，即 $x^p \geq \frac{x}{x+y}(x+y)^p = x(x+y)^{p-1}$。同理可得 $y^p \geq y(x+y)^{p-1}$。两式相加：$x^p+y^p \geq (x+y)(x+y)^{p-1} = (x+y)^p$。
公式：$x^p+y^p \geq (x+y)^p$
提示：注意 $f(0)=0$，且 $\lambda$ 的选取要使得左边恰好为 $x^p$。
步骤 4/6
目标：分析 $p \geq 1$ 时函数 $f(t)=t^p$ 的凹凸性
计算二阶导数：$f''(t)=p(p-1)t^{p-2}$。当 $p \geq 1$ 时，$p-1 \geq 0$，故 $f''(t) \geq 0$，因此 $f(t)$ 是凸函数。
公式：$f''(t)=p(p-1)t^{p-2} \geq 0$
提示：凸函数的二阶导数大于等于0。
步骤 5/6
目标：利用凸函数性质证明 $p \geq 1$ 的情形
凸函数满足：$f(\lambda a+(1-\lambda)b) \leq \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)$。同样取 $a=x+y$, $b=0$, $\lambda = \frac{x}{x+y}$，代入得：$x^p \leq \frac{x}{x+y}(x+y)^p = x(x+y)^{p-1}$。同理 $y^p \leq y(x+y)^{p-1}$。两式相加：$x^p+y^p \leq (x+y)(x+y)^{p-1} = (x+y)^p$。
公式：$x^p+y^p \leq (x+y)^p$
提示：注意不等号方向与凹函数情形相反。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合以上证明，得到：当 $0
提示：两个不等式在 $x=0$ 或 $y=0$ 时取等号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。