华中师范大学 2022年数学分析第0题

函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。这个条件比普通连续更强，因为它要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置。

函数 $f(x) = x + (\sin x)^2$ 由两部分组成：第一部分是 $x$，它是线性函数，在 $\mathbb{R}$ 上满足 Lipschitz 条件（取 $\delta = \varepsilon$ 即可），因此一致连续；第二部分是 $(\sin x)^2$，它是周期函数且有界，导数 $2\sin x \cos x = \sin 2x$ 有界，因此也一致连续。两个一致连续函数的和仍然一致连续，因为可以取各自 $\delta$ 的较小者。

考虑任意两点 $x$ 和 $x+h$，其中 $h$ 为任意实数。计算差值： $$ f(x+h) - f(x) = h + \sin^2(x+h) - \sin^2 x. $$ 利用三角恒等式： $$ \sin^2(x+h) - \sin^2 x = (\sin(x+h) - \sin x)(\sin(x+h) + \sin x). $$ 又由和差化积公式： $$ \sin(x+h) - \sin x = 2 \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\frac{h}{2}. $$ 因此 $$ |\sin^2(x+h) - \sin^2 x| \le \left|2 \cos\left(x+\frac{h}{2}\right) \sin\frac{h}{2}\right| \cdot |\sin(x+h) + \sin x| \le 2 \cdot \left|\sin\frac{h}{2}\right| \cdot 2 = 4\left|\sin\frac{h}{2}\right|. $$ 利用 $|\sin t| \le |t|$，得 $4|\sin(h/2)| \le 2|h|$。于是 $$ |f(x+h) - f(x)| \le |h| + 2|h| = 3|h|. $$ 这说明函数满足 Lipschitz 条件，Lipschitz 常数为 3。

由 $|f(x_1) - f(x_2)| \le 3|x_1 - x_2|$，对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon/3$，则当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|f(x_1) - f(x_2)| \le 3|x_1 - x_2| < 3\delta = \varepsilon$。因此函数在 $(-\infty, +\infty)$ 上一致连续。

函数 $f(x) = x + (\sin x)^2$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上一致连续。

由一致连续的定义，对任意 \(\varepsilon>0\) 存在 \(\delta=\varepsilon/3\)，使得当 \(|x-y|<\delta\) 时 \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\)，因此函数 \( f(x)=x+\sin^2 x \) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上一致连续。