华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．函数 $f(x)=x+\sin x^{2}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆一致连续的定义，明确证明非一致连续的方法
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。要证明非一致连续，只需找到某个固定的 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意小的 $\delta > 0$，都能找到两点 $x_1, x_2$，满足 $|x_1 - x_2| < \delta$ 但 $|f(x_1) - f(x_2)| \ge \varepsilon_0$。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in I: |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意非一致连续的证明关键是构造出距离任意小但函数值差保持大于某正数的两点。
步骤 2/5
目标：构造合适的点列，利用 $\sin x^2$ 的振荡特性
考虑 $\sin x^2$ 部分，当 $x$ 很大时振荡加快。取 $x_n = \sqrt{2k\pi}$，$y_n = \sqrt{2k\pi + \frac{\pi}{2}}$，其中 $k$ 为正整数。此时 $\sin(x_n^2) = \sin(2k\pi) = 0$，$\sin(y_n^2) = \sin\left(2k\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1$。
公式：$x_n = \sqrt{2k\pi},\quad y_n = \sqrt{2k\pi + \frac{\pi}{2}}$
提示：选择偶数倍 $\pi$ 是为了让 $\sin$ 值分别为 0 和 1，简化计算。
步骤 3/5
目标：计算两点之间的距离，证明可以任意小
计算差值：$y_n - x_n = \sqrt{2k\pi + \frac{\pi}{2}} - \sqrt{2k\pi}$。利用公式 $\sqrt{a+h} - \sqrt{a} = \frac{h}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}$，其中 $a=2k\pi$，$h=\frac{\pi}{2}$，得 $y_n - x_n = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{2k\pi + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{2k\pi}}$。当 $k \to \infty$ 时，分母 $\to \infty$，故 $y_n - x_n \to 0$。因此对任意 $\delta > 0$，存在足够大的 $k$ 使得 $|y_n - x_n| < \delta$。
公式：$y_n - x_n = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{2k\pi + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{2k\pi}} \to 0$
提示：注意分子是常数，分母趋于无穷，所以差值趋于0。
步骤 4/5
目标：计算函数值差，证明其大于某个正常数
计算函数值差：$f(y_n) - f(x_n) = (y_n + \sin(y_n^2)) - (x_n + \sin(x_n^2)) = (y_n - x_n) + (1 - 0) = (y_n - x_n) + 1$。由于 $y_n - x_n \to 0$，当 $k$ 足够大时，$|y_n - x_n| < \frac{1}{2}$，从而 $|f(y_n) - f(x_n)| = |(y_n - x_n) + 1| \ge 1 - |y_n - x_n| > \frac{1}{2}$。
公式：$|f(y_n)-f(x_n)| = |(y_n-x_n)+1| \ge 1 - |y_n-x_n|$
提示：注意绝对值不等式 $|a+b| \ge |a| - |b|$ 的应用。
步骤 5/5
目标：严格表述非一致连续的结论
取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$。对任意 $\delta > 0$，由步骤3知存在足够大的 $k$ 使得 $|y_n - x_n| < \delta$，但由步骤4知 $|f(y_n) - f(x_n)| > \frac{1}{2} = \varepsilon_0$。因此一致连续的条件不成立，故函数 $f(x) = x + \sin x^2$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上非一致连续。
公式：存在 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$，对任意 $\delta>0$，存在两点满足 $|x_1-x_2|<\delta$ 但 $|f(x_1)-f(x_2)| \ge \varepsilon_0$
提示：证明非一致连续时，$\varepsilon_0$ 可以取任意小于1的正数，如 $\frac{1}{2}$ 即可。
步骤 6/6
目标：得出结论
由上述构造，我们找到了一个固定的 $\varepsilon_0=1$，使得对任意 $\delta>0$，都存在两点 $x_n,y_n$ 满足 $|x_n-y_n|<\delta$ 但 $|f(x_n)-f(y_n)|\geq 1$。因此函数 $f(x)=x+\sin x^2$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致连续。
提示：证明不一致连续的关键是构造出距离任意小但函数值差保持大于固定正数的点对。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，对任意 $\delta>0$，存在 $x_1,x_2$ 满足 $|x_1-x_2|<\delta$ 但 $|f(x_1)-f(x_2)|\geq1$，故 $f(x)=x+\sin x^2$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致连续。
提示：注意结论要明确写出“非一致连续”。
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