华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
二．（20分）证明题．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和目标
已知函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续。目标：证明对任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( \delta > 0 \)，使得对任意 \( x_1, x_2 \in [a,b] \)，只要 \( |x_1 - x_2| < \delta \)，就有 \( |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon \)。
公式：一致连续定义：\( \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1,x_2 \in [a,b], |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon \)
提示：注意区分逐点连续与一致连续：逐点连续的 \(\delta\) 依赖于点，一致连续要求存在公共的 \(\delta\)。
步骤 2/5
目标：利用连续性的逐点定义
由 \( f \) 在 \([a,b]\) 上连续，对每一点 \( x_0 \in [a,b] \) 和给定的 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( \delta_{x_0} > 0 \)，使得当 \( |x - x_0| < \delta_{x_0} \) 且 \( x \in [a,b] \) 时，有 \( |f(x) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{2} \)。
公式：\( \forall x_0 \in [a,b], \exists \delta_{x_0}>0, \forall x \in [a,b], |x-x_0|<\delta_{x_0} \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2} \)
提示：这里取 \(\varepsilon/2\) 是为了后续三角不等式放缩时得到 \(\varepsilon\)。
步骤 3/5
目标：构造开覆盖并利用有限覆盖定理
考虑开区间族 \(\left\{ \left( x_0 - \frac{\delta_{x_0}}{2}, x_0 + \frac{\delta_{x_0}}{2} \right) \right\}_{x_0 \in [a,b]}\)，这些开区间覆盖了闭区间 \([a,b]\)。由有限覆盖定理（Heine-Borel定理），存在有限个点 \( x_1, x_2, \dots, x_n \) 使得对应的开区间 \(\left( x_i - \frac{\delta_{x_i}}{2}, x_i + \frac{\delta_{x_i}}{2} \right), i=1,2,\dots,n\) 仍然覆盖 \([a,b]\)。
公式：有限覆盖定理：闭区间上的任意开覆盖存在有限子覆盖
提示：注意开区间半径取 \(\delta_{x_0}/2\) 而非 \(\delta_{x_0}\)，这是为了后续三角不等式留出余地。
步骤 4/5
目标：取最小的半径作为一致连续的δ
令 \(\delta = \min_{1 \le i \le n} \frac{\delta_{x_i}}{2} > 0\)。任取两点 \( u, v \in [a,b] \) 满足 \( |u - v| < \delta \)。因为开覆盖的存在，\( u \) 必属于某个区间，比如 \( u \in \left( x_k - \frac{\delta_{x_k}}{2}, x_k + \frac{\delta_{x_k}}{2} \right) \)，于是 \( |u - x_k| < \frac{\delta_{x_k}}{2} \)。同时，由于 \( |u - v| < \delta \le \frac{\delta_{x_k}}{2} \)，由三角不等式得 \( |v - x_k| \le |v - u| + |u - x_k| < \frac{\delta_{x_k}}{2} + \frac{\delta_{x_k}}{2} = \delta_{x_k} \)。因此 \( v \) 也在 \( x_k \) 的 \( \delta_{x_k} \) 邻域内。
公式：\( \delta = \min_i \frac{\delta_{x_i}}{2} \)，三角不等式：\( |v-x_k| \le |v-u|+|u-x_k| \)
提示：取最小值保证对所有有限覆盖点都有效；三角不等式是连接 \(u\) 和 \(v\) 的关键。
步骤 5/5
目标：利用连续性得到一致估计
由 \( x_k \) 处的连续性，有 \( |f(u) - f(x_k)| < \frac{\varepsilon}{2} \) 和 \( |f(v) - f(x_k)| < \frac{\varepsilon}{2} \)。于是 \( |f(u) - f(v)| \le |f(u) - f(x_k)| + |f(v) - f(x_k)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \)。这就证明了对于任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在一个公共的 \( \delta > 0 \) 使得条件成立，即 \( f \) 在 \([a,b]\) 上一致连续。
公式：\( |f(u)-f(v)| \le |f(u)-f(x_k)|+|f(v)-f(x_k)| < \varepsilon \)
提示：最终放缩得到严格小于 \(\varepsilon\)，注意 \(\varepsilon/2\) 的取法保证了结果。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f'(\xi)=f(\xi)$，证毕。
提示：结论明确，注意 $\xi$ 的存在性。
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