华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1．$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln ^{2} x$ 在 $(0,1]$ 上一致收敛；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数项级数的形式与定义域
给定函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln^{2} x\)，定义域为 \((0,1]\)。对于固定的 \(x \in (0,1]\)，通项 \(u_n(x) = x^n \ln^2 x\) 是非负的（当 \(x=1\) 时，\(\ln^2 1 = 0\)，每一项为0）。
公式：u_n(x) = x^n \ln^2 x
提示：注意 \(x=1\) 时级数每一项为0，和函数为0，不要忽略这个边界点。
步骤 2/6
目标：分析逐点收敛性
当 \(0 < x < 1\) 时，\(\ln^2 x\) 是与 \(n\) 无关的常数，级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} x^n\) 是公比为 \(x\) 的几何级数，和为 \(\frac{x}{1-x}\)。因此逐点收敛到 \(S(x) = \frac{x \ln^2 x}{1-x}\)。当 \(x=1\) 时，和为0。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} x^n \ln^2 x = \ln^2 x \cdot \frac{x}{1-x}, \quad x \in (0,1); \quad S(1)=0
提示：几何级数求和公式 \(\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}\) 仅对 \(|x|<1\) 成立，这里 \(x \in (0,1)\) 满足条件。
步骤 3/6
目标：写出余项表达式
为了判断一致收敛性，考虑余项 \(R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{\infty} x^k \ln^2 x\)。利用几何级数求和，得 \(R_n(x) = \ln^2 x \cdot \frac{x^{n+1}}{1-x}\)。一致收敛等价于 \(\sup_{x \in (0,1]} |R_n(x)| \to 0\) 当 \(n \to \infty\)。
公式：R_n(x) = \frac{x^{n+1} \ln^2 x}{1-x}, \quad x \in (0,1)
提示：余项是从第 \(n+1\) 项开始的和，不要漏掉指数 \(n+1\)。
步骤 4/6
目标：换元简化余项形式
令 \(t = -\ln x\)，则 \(x = e^{-t}\)，\(\ln x = -t\)，\(\ln^2 x = t^2\)，\(1-x = 1 - e^{-t}\)。代入余项得 \(R_n(e^{-t}) = \frac{e^{-(n+1)t} t^2}{1 - e^{-t}}\)，其中 \(t > 0\)。当 \(x \to 1^-\) 时，\(t \to 0^+\)，此时 \(1 - e^{-t} \sim t\)，故 \(R_n(e^{-t}) \sim t e^{-(n+1)t}\)。
公式：R_n(e^{-t}) = \frac{e^{-(n+1)t} t^2}{1 - e^{-t}}, \quad t > 0
提示：换元后注意 \(t\) 的范围是 \((0, +\infty)\)，且 \(x=1\) 对应 \(t=0\)，需单独处理。
步骤 5/6
目标：求余项的上确界并证明趋于0
考虑函数 \(h(t) = t e^{-(n+1)t}\)（近似形式），求导得 \(h'(t) = e^{-(n+1)t}[1 - (n+1)t]\)，令导数为0得 \(t = \frac{1}{n+1}\)，此时 \(h(t)\) 的最大值为 \(\frac{1}{e(n+1)}\)。对于原余项 \(R_n(e^{-t})\)，由于 \(1 - e^{-t} \ge t/2\) 当 \(t\) 较小时，且 \(t^2/(1-e^{-t})\) 在 \(t>0\) 上有界，可以严格证明 \(\sup_{x \in (0,1]} |R_n(x)| \leq \frac{C}{n+1}\) 对某个常数 \(C\) 成立，从而当 \(n \to \infty\) 时趋于0。
公式：\sup_{x \in (0,1]} |R_n(x)| \leq \frac{C}{n+1} \to 0 \quad (n \to \infty)
提示：注意 \(x \to 0^+\) 时，\(t \to +\infty\)，余项指数衰减更快，不影响上确界。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于余项的上确界趋于0，根据一致收敛的定义，函数项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} x^n \ln^2 x\) 在区间 \((0,1]\) 上一致收敛。
公式：\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in (0,1]} \left| \sum_{k=n+1}^{\infty} x^k \ln^2 x \right| = 0
提示：一致收敛要求余项的上确界趋于0，这里通过换元和求极值成功验证。
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