华中师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln ^{2} x}{1-x} \mathrm{~d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{3}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将被积函数展开为幂级数
当 $|x|<1$ 时，有几何级数展开：
\[
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n
\]
因此积分可写为：
\[
\int_0^1 \frac{\ln^2 x}{1-x} \, dx = \int_0^1 \ln^2 x \sum_{n=0}^\infty x^n \, dx
\]
公式：\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n
提示：注意展开式成立的条件是 $|x|<1$，在积分区间 $(0,1)$ 内满足，但端点 $x=1$ 处需单独考虑，不过积分是广义积分，不影响展开的使用。
步骤 2/5
目标：交换积分与求和顺序
由于在区间 $(0,1)$ 上，级数一致收敛（可验证），因此可以交换积分与求和次序：
\[
\int_0^1 \ln^2 x \sum_{n=0}^\infty x^n \, dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 x^n \ln^2 x \, dx
\]
公式：\sum_{n=0}^\infty \int_0^1 x^n \ln^2 x \, dx
提示：交换次序需要验证一致收敛性，这里因为对数函数在 $x=0$ 附近有奇点，但积分收敛，且级数在任意闭区间 $[0,1-\delta]$ 上一致收敛，可结合控制收敛定理严格化。
步骤 3/5
目标：计算积分 $\int_0^1 x^n \ln^2 x \, dx$
令 $t = -\ln x$，则 $x = e^{-t}$，$dx = -e^{-t} dt$，当 $x:0\to1$ 时，$t:\infty\to0$。于是：
\[
\int_0^1 x^n \ln^2 x \, dx = \int_{\infty}^0 e^{-nt} t^2 (-e^{-t}) dt = \int_0^\infty t^2 e^{-(n+1)t} dt
\]
利用Gamma函数：
\[
\int_0^\infty t^2 e^{-(n+1)t} dt = \frac{\Gamma(3)}{(n+1)^3} = \frac{2}{(n+1)^3}
\]
公式：\int_0^\infty t^2 e^{-(n+1)t} dt = \frac{2}{(n+1)^3}
提示：换元时注意积分限的变化，以及 $\Gamma(3)=2! = 2$。也可以使用分部积分法：令 $u=\ln^2 x, dv=x^n dx$，但换元法更直接。
步骤 4/5
目标：代入求和并化简
将积分结果代入求和式：
\[
\sum_{n=0}^\infty \frac{2}{(n+1)^3}
\]
令 $m = n+1$，则当 $n=0$ 时 $m=1$，求和变为：
\[
\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{m^3}
\]
公式：\sum_{n=0}^\infty \frac{2}{(n+1)^3} = \sum_{m=1}^\infty \frac{2}{m^3}
提示：注意下标变换，不要遗漏项。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此原积分等于：
\[
\int_{0}^{1} \frac{\ln ^{2} x}{1-x} \mathrm{~d} x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{3}}
\]
这个级数等于 $2\zeta(3)$，其中 $\zeta(3)$ 是 Apéry 常数。
公式：\int_{0}^{1} \frac{\ln ^{2} x}{1-x} \mathrm{~d} x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{3}}
提示：等式成立，注意右边级数收敛，且与左边积分值相等。
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