华中师范大学 2022年数学分析第0题

内闭一致收敛是指：对任意闭区间 $[a,b] \subset (0,+\infty)$，含参量积分在 $x \in [a,b]$ 上一致收敛。因此，只需证明对任意 $[a,b] \subset (0,+\infty)$，积分 $\int_1^{+\infty} \frac{y \sin(xy)}{1+y^2} \, dy$ 在 $x \in [a,b]$ 上一致收敛。

由于被积函数含有振荡因子 $\sin(xy)$，且 $\frac{y}{1+y^2}$ 在 $y$ 充分大时单调递减趋于 $0$，考虑使用 Dirichlet 判别法。令 $f(x,y) = \sin(xy)$，$g(y) = \frac{y}{1+y^2}$，则积分化为 $\int_1^{+\infty} f(x,y) g(y) \, dy$。

对任意 $x \in [a,b]$（$a>0$），考虑 $\int_1^A \sin(xy) \, dy$ 的有界性： $$\left| \int_1^A \sin(xy) \, dy \right| = \left| \frac{\cos(x) - \cos(xA)}{x} \right| \le \frac{2}{x} \le \frac{2}{a}.$$ 因此，对任意 $A>1$，该积分绝对值不超过常数 $\frac{2}{a}$，即关于 $A$ 和 $x \in [a,b]$ 一致有界。

考虑 $g(y) = \frac{y}{1+y^2}$，当 $y \ge 1$ 时，求导得 $g'(y) = \frac{1-y^2}{(1+y^2)^2} < 0$，故 $g(y)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减。且 $\lim_{y \to +\infty} g(y) = 0$。由于 $g(y)$ 与 $x$ 无关，因此 $g(y)$ 关于 $x \in [a,b]$ 一致趋于 $0$。

由 Dirichlet 判别法：若 $\int_1^A f(x,y) \, dy$ 关于 $A$ 和 $x$ 一致有界，且 $g(y)$ 关于 $y$ 单调且关于 $x$ 一致趋于 $0$，则积分 $\int_1^{+\infty} f(x,y) g(y) \, dy$ 关于 $x$ 一致收敛。这里 $f(x,y)=\sin(xy)$，$g(y)=\frac{y}{1+y^2}$，前两步已验证条件成立，故对任意 $[a,b] \subset (0,+\infty)$，积分在 $x \in [a,b]$ 上一致收敛。

由于对任意闭区间 $[a,b] \subset (0,+\infty)$，积分 $\int_1^{+\infty} \frac{y \sin(xy)}{1+y^2} \, dy$ 在 $x \in [a,b]$ 上一致收敛，根据内闭一致收敛的定义，该含参量积分在 $(0,+\infty)$ 上内闭一致收敛。