华中师范大学 2022年数学分析第0题

由于积分区间为 $[0, +\infty)$，且被积函数在 $x=0$ 和 $x \to +\infty$ 处的行为不同，将积分拆分为： $$\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{x^{p-1}}{1+x} \, dx + \int_{1}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \, dx.$$ 原积分收敛当且仅当这两个积分都收敛。

当 $x \to 0^+$ 时，分母 $1+x \to 1$，因此被积函数近似为 $x^{p-1}$。考虑比较判别法： $$\frac{x^{p-1}}{1+x} \sim x^{p-1} \quad (x \to 0^+).$$ 积分 $\int_0^1 x^{p-1} \, dx$ 在 $p-1 > -1$ 即 $p > 0$ 时收敛，在 $p \le 0$ 时发散。因此，$\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{1+x} \, dx$ 收敛的条件是 $p > 0$。

当 $x \to +\infty$ 时，分母 $1+x \sim x$，因此被积函数近似为 $x^{p-2}$。考虑比较判别法： $$\frac{x^{p-1}}{1+x} \sim x^{p-2} \quad (x \to +\infty).$$ 积分 $\int_1^{+\infty} x^{p-2} \, dx$ 在 $p-2 < -1$ 即 $p < 1$ 时收敛，在 $p \ge 1$ 时发散。因此，$\int_1^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \, dx$ 收敛的条件是 $p < 1$。

原积分收敛需要同时满足 $p > 0$ 和 $p < 1$，即 $0 < p < 1$。当 $p \le 0$ 或 $p \ge 1$ 时，至少有一段积分发散，因此原积分发散。

当 $p=0$ 时，被积函数为 $\frac{x^{-1}}{1+x}$，在 $x=0$ 附近 $\sim 1/x$，积分 $\int_0^1 \frac{1}{x(1+x)} \, dx$ 发散（对数发散）。 当 $p=1$ 时，被积函数为 $\frac{1}{1+x}$，在 $x \to +\infty$ 时 $\sim 1/x$，积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{1+x} \, dx$ 发散（对数发散）。 因此边界情况均不收敛。

要使整个反常积分收敛，必须同时满足 $x=0$ 附近收敛（$p > 0$）和 $x \to +\infty$ 处收敛（$p < 1$）。因此收敛区间为 $0 < p < 1$。当 $p \leq 0$ 时，$x=0$ 附近发散；当 $p \geq 1$ 时，无穷远处发散。边界点 $p=0$ 和 $p=1$ 均不收敛。