华中师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1、设 $D=\{(x, y):|x| \leq R,|y| \leq R\}$ ，求极限
$$
I=\lim _{R \rightarrow+\infty} \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确极限与积分区域的关系
题目要求计算极限 $I = \lim_{R \to +\infty} \iint_{|x|\le R, |y|\le R} (x^2+y^2) e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy$。由于被积函数非负，且积分区域随 $R$ 增大单调增加覆盖全平面，因此极限等于全平面上的广义积分：$I = \iint_{\mathbb{R}^2} (x^2+y^2) e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy$，只要该积分收敛。
公式：I = \iint_{\mathbb{R}^2} (x^2+y^2) e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy
提示：注意：正方形区域与圆形区域不同，但极限情况等价于全平面积分，因为被积函数在远处迅速衰减。
步骤 2/4
目标：转化为极坐标形式
利用极坐标变换 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$，则 $x^2+y^2 = r^2$，面积元 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。积分区域为全平面，对应 $r \in [0,+\infty),\ \theta \in [0,2\pi)$。于是积分化为：
$$I = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{+\infty} r^2 e^{-r^2} \cdot r\, dr = 2\pi \int_0^{+\infty} r^3 e^{-r^2} dr$$
公式：I = 2\pi \int_0^{+\infty} r^3 e^{-r^2} dr
提示：注意极坐标变换中 $dxdy = r dr d\theta$，不要遗漏因子 $r$。
步骤 3/4
目标：计算径向积分
令 $t = r^2$，则 $dt = 2r\,dr$，且 $r^3 dr = r^2 \cdot r dr = t \cdot \frac{1}{2} dt$。于是：
$$\int_0^{+\infty} r^3 e^{-r^2} dr = \int_0^{+\infty} t e^{-t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac12 \int_0^{+\infty} t e^{-t} dt$$
而 $\int_0^{+\infty} t e^{-t} dt = \Gamma(2) = 1! = 1$，因此径向积分值为 $\frac12$。
公式：\int_0^{+\infty} r^3 e^{-r^2} dr = \frac12
提示：换元时注意 $r^3 dr$ 的变换，也可直接利用Gamma函数公式。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
将径向积分结果代入：
$$I = 2\pi \cdot \frac12 = \pi$$
公式：I = \pi
提示：最终结果是一个简洁的常数 $\pi$，注意检查积分收敛性。
步骤 5/5
目标：乘上角度部分并得出结果
角度积分为 $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$，因此全平面积分值为 $2\pi \cdot \frac12 = \pi$。所以原极限 $I = \pi$。
公式：I = 2\pi \cdot \frac12 = \pi
提示：角度积分是常数，直接相乘即可。
步骤 6/7
目标：计算已知积分值
利用已知结果：
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \,dy = \sqrt{\pi}, \quad \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-x^2} \,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. $$
公式：高斯积分：$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$；$\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
提示：第二个积分可通过分部积分或利用 Gamma 函数得到。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
代入计算：
$$ I = 2 \cdot \sqrt{\pi} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \pi. $$
提示：注意乘法运算顺序，避免计算错误。
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