华中师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2、已知 $\varphi(t)=\int_{0}^{1} \ln \left(\sqrt{x^{2}+t^{2}}\right) \mathrm{d} x,(0 \leq t \leq 1)$ ，求 $\varphi(t)$ 在 $t=0$ 处的单侧导数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简被积函数
已知 $\varphi(t)=\int_{0}^{1} \ln \left(\sqrt{x^{2}+t^{2}}\right) \mathrm{d} x$，利用对数性质 $\ln(\sqrt{x^2+t^2}) = \frac12 \ln(x^2+t^2)$，得到 $\varphi(t) = \frac12 \int_0^1 \ln(x^2+t^2) \, dx$。
公式：$\ln(\sqrt{x^2+t^2}) = \frac12 \ln(x^2+t^2)$
提示：注意对数运算规则，不要遗漏系数1/2。
步骤 2/4
目标：计算 φ(0) 并写出差商表达式
当 $t=0$ 时，$\varphi(0) = \frac12 \int_0^1 \ln(x^2) \, dx = \int_0^1 \ln x \, dx = -1$。于是差商为 $\frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t} = \frac{ \frac12 \int_0^1 \ln(x^2+t^2) \, dx + 1 }{t}$。将 $1$ 写成 $-\int_0^1 \ln x \, dx$，合并积分得 $\frac{1}{t} \int_0^1 \left[ \frac12 \ln(x^2+t^2) - \ln x \right] dx = \frac{1}{t} \int_0^1 \ln\left( \frac{\sqrt{x^2+t^2}}{x} \right) dx$。
公式：$\varphi(0) = -1$，$\frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t} = \frac{1}{t} \int_0^1 \ln\left( \frac{\sqrt{x^2+t^2}}{x} \right) dx$
提示：注意 $\int_0^1 \ln x \, dx = -1$ 是收敛的，不要误以为发散。
步骤 3/4
目标：进一步化简被积函数并换元
由于 $\ln\left( \frac{\sqrt{x^2+t^2}}{x} \right) = \frac12 \ln\left(1+\frac{t^2}{x^2}\right)$，差商变为 $\frac{1}{2t} \int_0^1 \ln\left(1+\frac{t^2}{x^2}\right) dx$。令 $x = t u$，则 $dx = t\, du$，积分限 $x:0\to 1$ 对应 $u:0\to 1/t$，于是 $\int_0^1 \ln\left(1+\frac{t^2}{x^2}\right) dx = t \int_0^{1/t} \ln\left(1+\frac{1}{u^2}\right) du$，代入得差商 $= \frac12 \int_0^{1/t} \ln\left(1+\frac{1}{u^2}\right) du$。
公式：$\frac{1}{2t} \int_0^1 \ln\left(1+\frac{t^2}{x^2}\right) dx = \frac12 \int_0^{1/t} \ln\left(1+\frac{1}{u^2}\right) du$
提示：换元时注意积分限的变化，$t$ 是常数，$u$ 是新变量。
步骤 4/4
目标：求极限得到右导数
当 $t \to 0^+$ 时，$1/t \to +\infty$，因此 $\varphi'_+(0) = \lim_{t\to 0^+} \frac12 \int_0^{1/t} \ln\left(1+\frac{1}{u^2}\right) du = \frac12 \int_0^{\infty} \ln\left(1+\frac{1}{u^2}\right) du$。计算该积分：令 $u = 1/v$，则 $du = -dv/v^2$，积分化为 $\int_0^{\infty} \frac{\ln(1+v^2)}{v^2} dv$。利用分部积分（令 $U=\ln(1+v^2), dV=v^{-2}dv$）或已知结果得该积分值为 $\pi$，故 $\varphi'_+(0) = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\varphi'_+(0) = \frac12 \int_0^{\infty} \ln\left(1+\frac{1}{u^2}\right) du = \frac{\pi}{2}$
提示：计算 $\int_0^{\infty} \frac{\ln(1+v^2)}{v^2} dv$ 时，分部积分后需注意极限处理，也可直接记忆结果为 $\pi$。
步骤 5/5
目标：求 $t=0$ 处的右导数
右导数定义为 $\varphi'_+(0) = \lim_{t\to 0^+} \frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t}$。由于 $\varphi$ 在 $t=0$ 连续，且 $\varphi'(t)$ 在 $t>0$ 存在且极限 $\lim_{t\to 0^+} \varphi'(t) = \lim_{t\to 0^+} \arctan\left(\frac{1}{t}\right) = \frac{\pi}{2}$，根据导数极限定理，右导数等于该极限，即 $\varphi'_+(0) = \frac{\pi}{2}$。
公式：\lim_{t\to 0^+} \arctan\left(\frac{1}{t}\right) = \frac{\pi}{2}
提示：注意 $\arctan(1/t)$ 当 $t\to 0^+$ 时趋于 $\pi/2$，而非 $\pi/2$ 的负值。
步骤 6/6
目标：取极限得到右导数
由于 $\varphi'(t)$ 在 $t>0$ 连续且 $\lim_{t\to0^+}\varphi'(t)=\lim_{t\to0^+}\arctan\left(\frac{1}{t}\right)=\frac{\pi}{2}$，因此右导数 $\varphi'_+(0)=\frac{\pi}{2}$。
公式：$\varphi'_+(0)=\frac{\pi}{2}$
提示：这里利用了导函数在0+的极限等于导数值（若导函数连续）。
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