华中师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、计算 $\displaystyle J=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用对称性进行变量替换
令 $x = \pi - t$，则 $dx = -dt$。当 $x=0$ 时 $t=\pi$，当 $x=\pi$ 时 $t=0$。代入原积分得：
$$J = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - t) \sin(\pi - t)}{1+\cos^2(\pi - t)} (-dt) = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - t) \sin t}{1+\cos^2 t} dt$$
公式：$\sin(\pi - t) = \sin t$，$\cos(\pi - t) = -\cos t$，$\cos^2(\pi - t) = \cos^2 t$
提示：注意积分限的变化，以及三角恒等式的正确使用。
步骤 2/4
目标：将两个表达式相加得到简化形式
将原积分 $J = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$ 与上一步结果（将 $t$ 换为 $x$）相加：
$$2J = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x + (\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx$$
公式：$2J = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$
提示：相加时分子中的 $x$ 项抵消，只剩下常数 $\pi$。
步骤 3/4
目标：化简并计算积分
由上式得 $J = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$。令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x dx$，当 $x=0$ 时 $u=1$，$x=\pi$ 时 $u=-1$。于是：
$$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2}$$
公式：$\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u$
提示：注意换元时积分限的变化，以及负号的处理。
步骤 4/4
目标：计算定积分并得到最终结果
计算 $\int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$。因此：
$$J = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$$
公式：$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$，$\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$
提示：最终结果化简时注意乘法运算。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
将上一步结果代入 $J$ 的表达式：
$$J = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$$
公式：J = \frac{\pi^2}{4}
提示：最终结果要化简，并注意检查计算过程。
步骤 6/6
目标：计算定积分并得到最终结果
计算标准积分：
$$\int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = \left[ \arctan u \right]_{-1}^{1} = \arctan 1 - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$$
代入 $J$ 表达式：
$$J = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$$
公式：$\int \frac{du}{1+u^2} = \arctan u + C$
提示：注意 $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$，不要算错符号。
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