华中师范大学 2025年数学分析第0题

对于微分形式 $\omega = (y+z) \, dx + (z+x) \, dy + (x+y) \, dz$，要存在原函数 $u$，需满足恰当微分条件，即各交叉偏导数相等。计算： $\frac{\partial}{\partial y}(y+z)=1$，$\frac{\partial}{\partial z}(y+z)=1$； $\frac{\partial}{\partial z}(z+x)=1$，$\frac{\partial}{\partial x}(z+x)=1$； $\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1$，$\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1$。 所有交叉偏导均相等，故 $\omega$ 是恰当微分，存在原函数。

由 $\frac{\partial u}{\partial x} = y+z$，对 $x$ 积分，视 $y,z$ 为常数： $u = \int (y+z) \, dx = x(y+z) + \phi(y,z)$，其中 $\phi(y,z)$ 是待定函数。

对 $u = x(y+z) + \phi(y,z)$ 求关于 $y$ 的偏导： $\frac{\partial u}{\partial y} = x + \frac{\partial \phi}{\partial y}$。 令其等于 $z+x$，得 $x + \frac{\partial \phi}{\partial y} = z + x$，即 $\frac{\partial \phi}{\partial y} = z$。 对 $y$ 积分（$z$ 视为常数）：$\phi(y,z) = yz + \psi(z)$，其中 $\psi(z)$ 是待定函数。 此时 $u = x(y+z) + yz + \psi(z)$。

对 $u = x(y+z) + yz + \psi(z)$ 求关于 $z$ 的偏导： $\frac{\partial u}{\partial z} = x + y + \psi'(z)$。 令其等于 $x+y$，得 $x + y + \psi'(z) = x + y$，即 $\psi'(z) = 0$。 积分得 $\psi(z) = C$，$C$ 为任意常数。

将 $\psi(z)=C$ 代入 $u$ 表达式： $u = x(y+z) + yz + C = xy + xz + yz + C$。 因此原函数为 $u(x,y,z) = xy + yz + zx + C$，其中 $C$ 为任意常数。

取 $C=0$，得原函数为： \[ u(x,y,z) = x(y+z) + yz = xy + xz + yz. \] 验证： \[ \frac{\partial u}{\partial x}=y+z,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=x+z,\quad \frac{\partial u}{\partial z}=x+y, \] 与题目全微分一致。因此通解为 $u(x,y,z)=xy+yz+zx+C$。