华中师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5、计算第二型曲面积分 $I=\iint_{S} z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} =1(a, b, c>0)$ 的上半部分，并取外侧．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确积分表达式与曲面方向
计算第二型曲面积分 $I = \iint_{S} z^{3} \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y$，其中 $S$ 是椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ 的上半部分（$z \geq 0$），取外侧方向。由于上半椭球面的外侧法向量指向斜上方，其 $z$ 分量为正，因此投影到 $xy$ 平面时取正号。
公式：I = \iint_{S} z^{3} \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y
提示：注意第二型曲面积分的方向性：外侧对应法向量指向外部，上半部分外侧的 $z$ 分量 > 0。
步骤 2/6
目标：将曲面积分投影到xy平面
将上半椭球面显式表示为 $z = c\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}}$，定义域 $D$ 为椭圆区域 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1$。由于外侧方向使投影为正，有：
$$\iint_{S} z^{3} \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \iint_{D} \left( z(x,y) \right)^{3} \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$
公式：z = c\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}}, \quad D: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1
提示：投影时确保曲面是单值函数，且方向与投影符号一致。
步骤 3/6
目标：代入并化简积分
代入 $z$ 的表达式：
$$I = \iint_{D} \left[ c\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}} \right]^{3} \mathrm{d}x \mathrm{d}y = c^{3} \iint_{D} \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}\right)^{3/2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$
公式：I = c^{3} \iint_{D} \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}\right)^{3/2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y
提示：注意幂次运算：$(\sqrt{\cdot})^{3} = (\cdot)^{3/2}$。
步骤 4/6
目标：变量代换简化区域为圆
令 $u = \frac{x}{a}$，$v = \frac{y}{b}$，则雅可比行列式为 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = ab$，区域变为单位圆盘 $u^{2} + v^{2} \leq 1$，被积函数变为 $(1 - u^{2} - v^{2})^{3/2}$，积分化为：
$$I = c^{3} \iint_{u^{2}+v^{2} \leq 1} (1-u^{2}-v^{2})^{3/2} \cdot ab \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v = a b c^{3} \iint_{u^{2}+v^{2} \leq 1} (1-u^{2}-v^{2})^{3/2} \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v$$
公式：u = \frac{x}{a}, v = \frac{y}{b}, \quad \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = ab
提示：变量代换后不要忘记乘以雅可比行列式。
步骤 5/6
目标：用极坐标计算二重积分
在 $uv$ 平面使用极坐标：$u = r\cos\theta$，$v = r\sin\theta$，$0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，面积元 $\mathrm{d}u \mathrm{d}v = r \, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta$。则：
$$\iint_{u^{2}+v^{2} \leq 1} (1-u^{2}-v^{2})^{3/2} \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} (1-r^{2})^{3/2} \, r \, \mathrm{d}r$$
先计算 $\theta$ 部分得 $2\pi$。对于 $r$ 部分，令 $t = r^{2}$，则 $\mathrm{d}t = 2r \, \mathrm{d}r$，即 $r \, \mathrm{d}r = \frac{1}{2} \mathrm{d}t$，积分限 $t$ 从 $0$ 到 $1$：
$$\int_{0}^{1} (1-r^{2})^{3/2} r \, \mathrm{d}r = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1-t)^{3/2} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \cdot \left[ -\frac{2}{5}(1-t)^{5/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$$
公式：\int_{0}^{1} (1-r^{2})^{3/2} r \, \mathrm{d}r = \frac{1}{5}, \quad \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi
提示：极坐标代换时注意 $r$ 的积分限和面积元；换元 $t=r^2$ 时注意微分关系。
步骤 6/6
目标：得到最终结果
将极坐标计算结果代回：
$$I = a b c^{3} \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{2\pi}{5} a b c^{3}$$
公式：I = \frac{2\pi}{5} a b c^{3}
提示：最终结果应包含所有常数因子，注意检查符号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。