华中师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
八、（20 分）设有级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ ，其中 $\displaystyle a_{n}$ 均为实数，证明：
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收玫，则对任意的 $\displaystyle x>\lambda$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收玫．
（2）存在实数 $r$ ，使得当 $\displaystyle x>r$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收玫；当 $\displaystyle x<r$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{\lambda}}$ 收敛，其中 $a_n$ 为实数。要证明：对任意 $x > \lambda$，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{x}}$ 也收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{\lambda}} \text{ 收敛 } \Rightarrow \forall x > \lambda, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{x}} \text{ 收敛}$$
提示：注意 $x$ 与 $\lambda$ 的大小关系是严格大于，不能取等号。
步骤 2/6
目标：构造适合判别法的通项分解形式
令 $b_n = \dfrac{a_n}{n^{\lambda}}$，$c_n = \dfrac{1}{n^{x-\lambda}}$，则原级数通项可写为：
$$\frac{a_n}{n^{x}} = \frac{a_n}{n^{\lambda}} \cdot \frac{1}{n^{x-\lambda}} = b_n c_n.$$
由于 $\sum b_n$ 收敛，其部分和 $B_N = \sum_{k=1}^N b_k$ 有界。
公式：$$\frac{a_n}{n^{x}} = b_n c_n, \quad b_n = \frac{a_n}{n^{\lambda}}, \quad c_n = \frac{1}{n^{x-\lambda}}$$
提示：分解的关键是利用已知收敛级数的通项作为 $b_n$，而 $c_n$ 是单调递减趋于0的正数列。
步骤 3/6
目标：验证狄利克雷判别法的条件
由于 $x > \lambda$，故 $x-\lambda > 0$，因此 $c_n = 1/n^{x-\lambda}$ 是单调递减的正数列，且 $\lim_{n \to \infty} c_n = 0$。同时，$\sum b_n$ 收敛意味着其部分和数列 $\{B_N\}$ 有界。这两个条件满足狄利克雷判别法的要求。
公式：$$c_n \downarrow 0, \quad \left| \sum_{k=1}^N b_k \right| \leq M \quad (\exists M > 0)$$
提示：狄利克雷判别法要求部分和有界而非收敛，但收敛必然推出有界，因此条件成立。
步骤 4/6
目标：应用狄利克雷判别法得出结论
由狄利克雷判别法：若数列 $\{c_n\}$ 单调趋于0，且 $\sum b_n$ 的部分和有界，则级数 $\sum b_n c_n$ 收敛。因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{x}}$ 收敛。第一问证毕。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} b_n c_n \text{ 收敛}$$
提示：狄利克雷判别法是处理形如 $b_n c_n$ 乘积级数收敛性的常用工具，注意 $c_n$ 必须单调。
步骤 5/6
目标：分析第二问：收敛域的结构
定义集合 $A = \{ x \in \mathbb{R} : \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{x}} \text{ 收敛} \}$。由第一问可知，若 $\lambda \in A$，则对所有 $x > \lambda$ 也有 $x \in A$。因此 $A$ 要么是空集，要么是形如 $(r, +\infty)$ 或 $[r, +\infty)$ 的区间。
公式：$$\lambda \in A \Rightarrow (\lambda, +\infty) \subseteq A$$
提示：这一性质说明收敛域是向右无界的区间，其左端点即为临界值 $r$。
步骤 6/6
目标：定义临界值 r 并证明其存在性
令 $r = \inf A$。若 $A = \varnothing$，则规定 $r = +\infty$，此时对任意 $x$ 级数发散，结论成立。若 $A \neq \varnothing$，则：
- 对任意 $x > r$，由下确界定义，存在 $\lambda \in A$ 且 $\lambda < x$，由第一问知 $x \in A$，即级数收敛；
- 对任意 $x < r$，由下确界定义，$x \notin A$，即级数发散。
因此这样的 $r$ 存在。
公式：$$r = \inf \{ x \in \mathbb{R} : \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{x}} \text{ 收敛} \}$$
提示：注意 $r$ 可能是 $+\infty$，此时所有 $x$ 都发散；也可能 $r$ 是有限实数，此时 $x>r$ 收敛，$x
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