华中师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
六、（10分）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对 $\displaystyle \forall[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，有
$$
\left|\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x\right| \leq M|\beta-\alpha|^{1+\delta}
$$
其中 $\displaystyle M, \delta$ 为正常数，求证：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件并明确目标
已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且对任意子区间 $[\alpha,\beta] \subset [a,b]$ 有 $\left| \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx \right| \le M |\beta-\alpha|^{1+\delta}$，其中 $M>0,\delta>0$ 为常数。需要证明 $f(x) \equiv 0$ 在 $[a,b]$ 上成立。
公式：\left| \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx \right| \le M |\beta-\alpha|^{1+\delta}
提示：注意条件对任意子区间都成立，且指数 $1+\delta>1$，这是关键。
步骤 2/5
目标：任取一点并考虑小邻域上的积分
任取 $x_0 \in [a,b]$，考虑充分小的 $h$（使得 $[x_0, x_0+h] \subset [a,b]$），则由条件有 $\left| \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \, dx \right| \le M |h|^{1+\delta}$。
公式：\left| \int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \, dx \right| \le M |h|^{1+\delta}
提示：当 $h<0$ 时，积分区间为 $[x_0+h, x_0]$，但绝对值形式相同。
步骤 3/5
目标：应用积分第一中值定理
由于 $f$ 连续，由积分第一中值定理，存在 $\xi_h$ 介于 $x_0$ 与 $x_0+h$ 之间，使得 $\int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \, dx = f(\xi_h) \cdot h$。代入不等式得 $|f(\xi_h) \cdot h| \le M |h|^{1+\delta}$。
公式：\int_{x_0}^{x_0+h} f(x) \, dx = f(\xi_h) \cdot h, \quad |f(\xi_h) \cdot h| \le M |h|^{1+\delta}
提示：中值定理要求 $f$ 连续，这里满足；注意 $h$ 可能为负，但绝对值处理时不影响。
步骤 4/5
目标：化简不等式并取极限
当 $h \neq 0$ 时，两边除以 $|h|$ 得 $|f(\xi_h)| \le M |h|^{\delta}$。令 $h \to 0$，则 $\xi_h \to x_0$，由 $f$ 的连续性得 $f(\xi_h) \to f(x_0)$，而右边 $M|h|^{\delta} \to 0$，故 $|f(x_0)| \le 0$，即 $f(x_0)=0$。
公式：|f(\xi_h)| \le M |h|^{\delta}, \quad \lim_{h \to 0} |f(\xi_h)| = |f(x_0)| \le 0
提示：注意 $\delta>0$ 保证了 $|h|^{\delta} \to 0$；极限过程需考虑左右极限，但由连续性统一处理。
步骤 5/5
目标：由任意性得出结论
由于 $x_0$ 是 $[a,b]$ 上任意一点，因此对每个 $x \in [a,b]$ 都有 $f(x)=0$，即 $f(x) \equiv 0$ 在 $[a,b]$ 上成立。
公式：f(x) \equiv 0, \quad x \in [a,b]
提示：结论成立的关键是条件对任意子区间成立，且 $\delta>0$ 保证了衰减速度足够快。
步骤 6/6
目标：得出矛盾，完成证明
因此假设不成立，即不存在 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $f(x_0) \neq 0$，故 $f(x) \equiv 0$ 在 $[a,b]$ 上。
提示：反证法结论：假设导致矛盾，故原命题成立。
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