华中师范大学 2025年数学分析第0题

记调和数 $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$，则通项为 $a_n = H_n \cdot \frac{\sin n}{n}$。当 $n \to \infty$ 时，$H_n \sim \ln n + \gamma$，其中 $\gamma$ 为欧拉常数。因此 $a_n \sim \frac{\ln n}{n} \sin n$。

考虑 $|a_n| = H_n \cdot \frac{|\sin n|}{n}$。由于 $|\sin n| \le 1$，有 $|a_n| \le \frac{H_n}{n} \sim \frac{\ln n}{n}$。但级数 $\sum \frac{\ln n}{n}$ 发散（积分判别法：$\int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2}(\ln x)^2 \to \infty$），故上界不能证明绝对收敛。实际上，$|\sin n|$ 的平均值为 $2/\pi$，因此 $|a_n|$ 大致与 $\frac{\ln n}{n}$ 同阶，级数不绝对收敛。

Dirichlet 判别法：若 $\sum_{k=1}^n \sin k$ 有界，且 $b_n = \frac{H_n}{n}$ 单调趋于 0，则 $\sum b_n \sin n$ 收敛。 首先，$b_n = \frac{H_n}{n}$：由于 $H_n$ 增长慢于线性，易证 $b_{n+1} < b_n$ 对充分大的 $n$ 成立，且 $b_n \to 0$。 其次，$\sum_{k=1}^n \sin k$ 有界：利用三角恒等式 $\sum_{k=1}^n \sin k = \frac{\sin\frac{n}{2} \sin\frac{n+1}{2}}{\sin\frac{1}{2}}$，分母 $\sin\frac{1}{2} \neq 0$，分子绝对值 $\le 1$，故部分和绝对值 $\le \frac{1}{|\sin(0.5)|}$。 由 Dirichlet 判别法，原级数收敛。

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} H_n \frac{\sin n}{n}$ 收敛，但不绝对收敛，因此是条件收敛。

由 Dirichlet 判别法，$b_n = \sin n$ 部分和有界，$c_n = H_n/n$ 单调趋于0，故级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n} \sin n$ 收敛。原级数即为此级数，因此收敛。实际上它是条件收敛的，因为绝对值项发散。

由 Dirichlet 判别法，$\sum_{n=1}^\infty b_n \sin n$ 收敛，即原级数收敛。结合第二步不绝对收敛，可知原级数条件收敛。